Номер 4, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 4, страница 119.

Условие.

4. Существуют ли значения переменной $x$, при которых значение квадратного трёхчлена $x^2 - 10x + 31$ равно:

a) -5;

б) 6;

в) 55;

г) 0?

При положительном ответе укажите эти значения.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, существуют ли значения переменной $x$, при которых значение квадратного трёхчлена $x^2 - 10x + 31$ равно заданным числам, необходимо для каждого случая решить соответствующее уравнение. Общий вид уравнения: $x^2 - 10x + 31 = k$, где $k$ — заданное значение. Существование действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, корни существуют; если $D < 0$, действительных корней нет.

Для анализа можно также найти наименьшее значение данного трёхчлена, выделив полный квадрат:

$x^2 - 10x + 31 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 + 31 = (x^2 - 10x + 25) + 6 = (x-5)^2 + 6$

Поскольку выражение $(x-5)^2$ всегда неотрицательно (то есть $(x-5)^2 \ge 0$), наименьшее значение всего трёхчлена равно $0 + 6 = 6$. Это значение достигается при $x=5$. Следовательно, трёхчлен не может принимать значения, меньшие 6.

а) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным -5.

Составим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = -5$

$x^2 - 10x + 36 = 0$

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 100 - 144 = -44$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это также следует из того, что значение -5 меньше минимально возможного значения трёхчлена, равного 6.

Ответ: не существуют.

б) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 6.

Составим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 6$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x-5)^2 = 0$

Отсюда $x-5 = 0$, следовательно, $x=5$. Это единственное решение, соответствующее вершине параболы.

Ответ: да, существует при $x = 5$.

в) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 55.

Составим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 55$

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

$x_1 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: да, существуют при $x = -2$ и $x = 12$.

г) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 0.

Составим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 0$

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 100 - 124 = -24$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это также следует из того, что значение 0 меньше минимально возможного значения трёхчлена, равного 6.

Ответ: не существуют.