Номер 14, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 14, страница 116.

Условие.

14. Уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) $5x_1$ и $5x_2$;

б) $x_1 - 3$ и $x_2 - 3$.

Решение.

Решение 2.

Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Чтобы составить новое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни $y_1$ и $y_2$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Новое уравнение будет иметь вид $y^2 - (y_1+y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Наша задача — найти сумму и произведение новых корней и выразить их через коэффициенты $p$ и $q$.

а)

Новые корни: $y_1 = 5x_1$ и $y_2 = 5x_2$.

1. Находим сумму новых корней:
$y_1 + y_2 = 5x_1 + 5x_2 = 5(x_1 + x_2) = 5(-p) = -5p$.

2. Находим произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (5x_1)(5x_2) = 25(x_1 \cdot x_2) = 25q$.

3. Составляем новое уравнение, используя в качестве переменной $x$:
$x^2 - (-5p)x + 25q = 0$
$x^2 + 5px + 25q = 0$.

Ответ: $x^2 + 5px + 25q = 0$

б)

Новые корни: $y_1 = x_1 - 3$ и $y_2 = x_2 - 3$.

1. Находим сумму новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 - 3) + (x_2 - 3) = (x_1 + x_2) - 6 = -p - 6$.

2. Находим произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2 + 9 = x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9$.
Подставляя известные значения, получаем:
$y_1 \cdot y_2 = q - 3(-p) + 9 = 3p + q + 9$.

3. Составляем новое уравнение:
$x^2 - (-p - 6)x + (3p + q + 9) = 0$
$x^2 + (p + 6)x + 3p + q + 9 = 0$.

Ответ: $x^2 + (p + 6)x + 3p + q + 9 = 0$