Номер 9, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 9, страница 114.

Условие.

9. Разность квадратов корней уравнения $2x^2 - 9x + c = 0$ равна 15,75. Определите свободный член уравнения.

Решение.

Решение 2.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $2x^2 - 9x + c = 0$.

Согласно теореме Виета, для данного уравнения с коэффициентами $a=2$, $b=-9$, $c=c$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{2}$.

По условию задачи, разность квадратов корней равна 15,75:

$x_1^2 - x_2^2 = 15.75$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 15.75$

Подставим известное значение суммы корней $x_1 + x_2 = 4.5$ в это выражение:

$(x_1 - x_2) \cdot 4.5 = 15.75$

Теперь найдем разность корней:

$x_1 - x_2 = \frac{15.75}{4.5} = 3.5$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$x_1 + x_2 = 4.5$

$x_1 - x_2 = 3.5$

Сложив эти два уравнения, получим: $2x_1 = 8$, откуда $x_1 = 4$.

Подставив $x_1 = 4$ в первое уравнение, найдем $x_2$: $4 + x_2 = 4.5$, откуда $x_2 = 0.5$.

Теперь, зная оба корня, мы можем найти свободный член $c$, используя формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$

$4 \cdot 0.5 = \frac{c}{2}$

$2 = \frac{c}{2}$

$c = 4$

Ответ: 4