Номер 2, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 2, страница 111.

Условие.

2. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета.

$x^2 - 6x - 3 = 0; D_1 = 9 + 3 = 12;$

$x = 3 \pm \sqrt{12} = 3 \pm 2\sqrt{3}; x_1 = 3 - 2\sqrt{3}; x_2 = 3 + 2\sqrt{3};$

$x_1 + x_2 = 3 - 2\sqrt{3} + 3 + 2\sqrt{3} = 6;$

$x_1 \cdot x_2 = (3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3}) = 9 - 12 = -3.$

a) $y^2 - 7y + 6 = 0;$

б) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

в) $20y^2 - y - 1 = 0;$

г) $x^2 + 7x + 7 = 0;$

д) $x^2 + \sqrt{2}x - 24 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $y^2 - 7y + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -7$ и $q = 6$.
По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -p = 7$, а произведение корней $y_1 \cdot y_2 = q = 6$.
Подбором находим корни: это числа 1 и 6, так как $1 + 6 = 7$ и $1 \cdot 6 = 6$.
Таким образом, $y_1 = 1$, $y_2 = 6$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = 1 + 6 = 7$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 1 \cdot 6 = 6$.
Так как $y_1 + y_2 = 7 = -p$ и $y_1 \cdot y_2 = 6 = q$, то найденные корни верны.

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = 6$.

б) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $p = -4$ и $q = -21$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p = 4$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -21$.
Подбором находим корни: это числа 7 и -3, так как $7 + (-3) = 4$ и $7 \cdot (-3) = -21$.
Таким образом, $x_1 = -3$, $x_2 = 7$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3 + 7 = 4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 7 = -21$.
Так как $x_1 + x_2 = 4 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = -21 = q$, то найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 7$.

в) $20y^2 - y - 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант.
Коэффициенты: $a = 20, b = -1, c = -1$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Корни: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{2 \cdot 20} = \frac{1 \pm 9}{40}$.
$y_1 = \frac{1 - 9}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$.
$y_2 = \frac{1 + 9}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Для полного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ теорема Виета имеет вид: $x_1+x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = -\frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$.
$-b/a = -(-1)/20 = 1/20$. Совпадает.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = (-\frac{1}{5}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{20}$.
$c/a = -1/20$. Совпадает.
Найденные корни верны.

Ответ: $y_1 = -1/5, y_2 = 1/4$.

г) $x^2 + 7x + 7 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант.
Коэффициенты: $a = 1, b = 7, c = 7$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 49 - 28 = 21$.
$\sqrt{D} = \sqrt{21}$.
Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2} + \frac{-7 + \sqrt{21}}{2} = \frac{-7 - \sqrt{21} - 7 + \sqrt{21}}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Для уравнения $p=7$, $-p=-7$. Совпадает.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (\frac{-7 - \sqrt{21}}{2}) \cdot (\frac{-7 + \sqrt{21}}{2}) = \frac{(-7)^2 - (\sqrt{21})^2}{4} = \frac{49 - 21}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
Для уравнения $q=7$. Совпадает.
Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.

д) $x^2 + \sqrt{2}x - 24 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант.
Коэффициенты: $a = 1, b = \sqrt{2}, c = -24$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 2 + 96 = 98$.
$\sqrt{D} = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm 7\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 = \frac{-\sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{2} = \frac{-8\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-\sqrt{2} + 7\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Для уравнения $p=\sqrt{2}$, $-p=-\sqrt{2}$. Совпадает.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-4\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = -12 \cdot (\sqrt{2})^2 = -12 \cdot 2 = -24$.
Для уравнения $q=-24$. Совпадает.
Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = -4\sqrt{2}, x_2 = 3\sqrt{2}$.