Номер 6, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 6, страница 106.

Условие.

6. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого в 2,6 раза больше одной из сторон и на 3 см больше другой стороны.

Решение.

................--------------------------------

6. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого в 2,6 раза больше одной из сторон и на 3 см больше другой стороны.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, а $d$ — его диагональ. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условию задачи, диагональ в 2,6 раза больше одной из сторон. Пусть этой стороной будет $a$. Тогда мы можем записать первое соотношение:

$d = 2.6a$

Также по условию, диагональ на 3 см больше другой стороны, $b$. Это дает нам второе соотношение:

$d = b + 3$, из которого можно выразить сторону $b$: $b = d - 3$.

В любом прямоугольнике диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон:

$a^2 + b^2 = d^2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Чтобы ее решить, выразим все неизвестные через одну, например, через сторону $a$.

Подставим выражение $d = 2.6a$ во второе уравнение, чтобы выразить $b$ через $a$:

$b = d - 3 = 2.6a - 3$

Теперь подставим выражения для $b$ и $d$ через $a$ в уравнение теоремы Пифагора:

$a^2 + (2.6a - 3)^2 = (2.6a)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$a^2 + (2.6^2a^2 - 2 \cdot 2.6a \cdot 3 + 3^2) = (2.6)^2a^2$

$a^2 + 6.76a^2 - 15.6a + 9 = 6.76a^2$

В левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $6.76a^2$, который можно сократить:

$a^2 - 15.6a + 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$ (здесь A, B, C - коэффициенты квадратного уравнения).

$D = (-15.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 243.36 - 36 = 207.36$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{207.36} = 14.4$.

Теперь найдем корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{-(-15.6) + 14.4}{2 \cdot 1} = \frac{15.6 + 14.4}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$a_2 = \frac{-(-15.6) - 14.4}{2 \cdot 1} = \frac{15.6 - 14.4}{2} = \frac{1.2}{2} = 0.6$

Мы получили два возможных значения для стороны $a$. Проверим каждое из них.

Случай 1: $a = 15$ см.

Найдем длину второй стороны $b$:

$b = 2.6a - 3 = 2.6 \cdot 15 - 3 = 39 - 3 = 36$ см.

Длины обеих сторон положительны, поэтому это решение является допустимым.

Случай 2: $a = 0.6$ см.

Найдем длину второй стороны $b$:

$b = 2.6a - 3 = 2.6 \cdot 0.6 - 3 = 1.56 - 3 = -1.44$ см.

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.

Итак, стороны прямоугольника равны 15 см и 36 см. Теперь найдем его площадь:

$S = a \cdot b = 15 \cdot 36 = 540$ см$^2$.

Ответ: 540 см$^2$.