Номер 14, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 14, страница 103.

Условие.

14. Решите уравнение:

a) $\frac{(3m - 1)(m + 1)}{5} + \frac{(2m - 1)^2}{3} = 5 + \frac{3m - m^2}{2}$;

б) $\frac{(p + 3)^2}{4} - \frac{(p + 2)(p - 3)}{6} = (2p - 1)^2 + 4$.

Решение.

Решение 2.

a)

Для решения уравнения $ \frac{(3m - 1)(m + 1)}{5} + \frac{(2m - 1)^2}{3} = 5 + \frac{3m - m^2}{2} $ избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 3 и 2, которое равно 30.

$$ 30 \cdot \frac{(3m - 1)(m + 1)}{5} + 30 \cdot \frac{(2m - 1)^2}{3} = 30 \cdot 5 + 30 \cdot \frac{3m - m^2}{2} $$

После умножения получаем:

$$ 6(3m - 1)(m + 1) + 10(2m - 1)^2 = 150 + 15(3m - m^2) $$

Теперь раскроем скобки. Сначала выполним умножение и возведение в квадрат:

$$ (3m - 1)(m + 1) = 3m^2 + 3m - m - 1 = 3m^2 + 2m - 1 $$

$$ (2m - 1)^2 = 4m^2 - 4m + 1 $$

Подставим полученные выражения в уравнение и раскроем оставшиеся скобки:

$$ 6(3m^2 + 2m - 1) + 10(4m^2 - 4m + 1) = 150 + 45m - 15m^2 $$

$$ 18m^2 + 12m - 6 + 40m^2 - 40m + 10 = 150 + 45m - 15m^2 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$$ 58m^2 - 28m + 4 = 150 + 45m - 15m^2 $$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 58m^2 - 28m + 4 - 150 - 45m + 15m^2 = 0 $$

Снова приведем подобные слагаемые:

$$ 73m^2 - 73m - 146 = 0 $$

Для упрощения разделим все уравнение на 73:

$$ m^2 - m - 2 = 0 $$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение, разложив его на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма -1. Это числа -2 и 1.

$$ (m - 2)(m + 1) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$m - 2 = 0 \implies m_1 = 2$

$m + 1 = 0 \implies m_2 = -1$

Ответ: -1; 2.

б)

Решим уравнение $ \frac{(p + 3)^2}{4} - \frac{(p + 2)(p - 3)}{6} = (2p - 1)^2 + 4 $. Для начала избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6, то есть на 12.

$$ 12 \cdot \frac{(p + 3)^2}{4} - 12 \cdot \frac{(p + 2)(p - 3)}{6} = 12 \cdot \left((2p - 1)^2 + 4\right) $$

$$ 3(p + 3)^2 - 2(p + 2)(p - 3) = 12(2p - 1)^2 + 48 $$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов:

$$ 3(p^2 + 6p + 9) - 2(p^2 - 3p + 2p - 6) = 12(4p^2 - 4p + 1) + 48 $$

$$ 3(p^2 + 6p + 9) - 2(p^2 - p - 6) = 12(4p^2 - 4p + 1) + 48 $$

$$ 3p^2 + 18p + 27 - 2p^2 + 2p + 12 = 48p^2 - 48p + 12 + 48 $$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$$ p^2 + 20p + 39 = 48p^2 - 48p + 60 $$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$$ 0 = 48p^2 - 48p + 60 - p^2 - 20p - 39 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 47p^2 - 68p + 21 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней через дискриминант $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=47$, $b=-68$, $c=21$.

Вычислим дискриминант:

$$ D = (-68)^2 - 4 \cdot 47 \cdot 21 = 4624 - 3948 = 676 $$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.

Найдем корни уравнения:

$$ p_1 = \frac{68 + 26}{2 \cdot 47} = \frac{94}{94} = 1 $$

$$ p_2 = \frac{68 - 26}{2 \cdot 47} = \frac{42}{94} = \frac{21}{47} $$

Ответ: $1; \frac{21}{47}$.