Номер 11, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 11, страница 101.

Условие.

11. Решите уравнение и сделайте проверку:

a) $5(x - 7)^2 = -47x + 255;$

б) $(3p - 1)^2 - 18 = (2p - 3)(2p + 3).$

Решение.

Решение 2.

а) $5(x - 7)² = -47x + 255$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)²=a²-2ab+b²$:

$5(x² - 2 \cdot x \cdot 7 + 7²) = -47x + 255$

$5(x² - 14x + 49) = -47x + 255$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 5:

$5x² - 70x + 245 = -47x + 255$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax²+bx+c=0$:

$5x² - 70x + 47x + 245 - 255 = 0$

$5x² - 23x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b² - 4ac$:

$D = (-23)² - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{729}}{2 \cdot 5} = \frac{23 + 27}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{729}}{2 \cdot 5} = \frac{23 - 27}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Проверка:

1. Подставим $x_1 = 5$ в исходное уравнение:

Левая часть: $5(5 - 7)² = 5(-2)² = 5 \cdot 4 = 20$

Правая часть: $-47 \cdot 5 + 255 = -235 + 255 = 20$

$20 = 20$. Равенство верно.

2. Подставим $x_2 = -0.4$ в исходное уравнение:

Левая часть: $5(-0.4 - 7)² = 5(-7.4)² = 5 \cdot 54.76 = 273.8$

Правая часть: $-47 \cdot (-0.4) + 255 = 18.8 + 255 = 273.8$

$273.8 = 273.8$. Равенство верно.

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -0.4$.

б) $(3p - 1)² - 18 = (2p - 3)(2p + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)²=a²-2ab+b²$, а в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a²-b²$:

$(9p² - 2 \cdot 3p \cdot 1 + 1²) - 18 = (2p)² - 3²$

$(9p² - 6p + 1) - 18 = 4p² - 9$

$9p² - 6p - 17 = 4p² - 9$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$9p² - 4p² - 6p - 17 + 9 = 0$

$5p² - 6p - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b² - 4ac$:

$D = (-6)² - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196$

Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$p_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 14}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$p_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 14}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Проверка:

1. Подставим $p_1 = 2$ в исходное уравнение:

Левая часть: $(3 \cdot 2 - 1)² - 18 = (6 - 1)² - 18 = 5² - 18 = 25 - 18 = 7$

Правая часть: $(2 \cdot 2 - 3)(2 \cdot 2 + 3) = (4 - 3)(4 + 3) = 1 \cdot 7 = 7$

$7 = 7$. Равенство верно.

2. Подставим $p_2 = -0.8$ в исходное уравнение:

Левая часть: $(3 \cdot (-0.8) - 1)² - 18 = (-2.4 - 1)² - 18 = (-3.4)² - 18 = 11.56 - 18 = -6.44$

Правая часть: $(2 \cdot (-0.8) - 3)(2 \cdot (-0.8) + 3) = (-1.6 - 3)(-1.6 + 3) = (-4.6)(1.4) = -6.44$

$-6.44 = -6.44$. Равенство верно.

Ответ: $p_1 = 2$, $p_2 = -0.8$.