Номер 6, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 6, страница 98.

Условие.

6. Решите уравнение:

а) $ -9x + x^2 - 22 = 0; $

б) $ 3x^2 - 2x + 15 = 0; $

в) $ 2x^2 - 3x - 3 = 0; $

г) $ -28x + 49 + 4x^2 = 0. $

Решение.

Решение 2.

а)

Данное уравнение: $-9x + x^2 - 22 = 0$.
Сначала приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, расположив члены в порядке убывания степеней $x$:
$x^2 - 9x - 22 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -9$, $c = -22$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-(-9) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: -2; 11.

б)

Дано уравнение $3x^2 - 2x + 15 = 0$.
Оно уже представлено в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 15$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 4 - 180 = -176$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в)

Дано уравнение $2x^2 - 3x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = -3$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 9 + 24 = 33$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{33}}{4}$; $\frac{3 + \sqrt{33}}{4}$.

г)

Дано уравнение $-28x + 49 + 4x^2 = 0$.
Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 28x + 49 = 0$.
Коэффициенты: $a = 4$, $b = -28$, $c = 49$.
Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$4x^2 - 28x + 49 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = (2x - 7)^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$(2x - 7)^2 = 0$.
$2x - 7 = 0$.
$2x = 7$.
$x = \frac{7}{2} = 3.5$.
Альтернативный способ через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 16 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-28)}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Ответ: 3.5.