Номер 4, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 4, страница 97.

Условие.

4. Найдите корни уравнения:

$24x^2 - 5x - 1 = 0; D = (-5)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-1) = 25 + 96 = 121;$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{48} = \frac{5 \pm 11}{48}; x_1 = \frac{5 - 11}{48} = -\frac{1}{8}; x_2 = \frac{5 + 11}{48} = \frac{1}{3}.

a) $15x^2 + 2x - 1 = 0;$

б) $5x^2 - 14x - 3 = 0;$

в) $9x^2 + 12x + 4 = 0;$

г) $3y^2 - 2y - 1 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $15x^2 + 2x - 1 = 0$

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. В данном уравнении коэффициенты равны: $a=15$, $b=2$, $c=-1$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 4 + 60 = 64$.

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 15} = \frac{-2 \pm 8}{30}$.

3. Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-2 - 8}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-2 + 8}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{5}$.

---

б) $5x^2 - 14x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=-14$, $c=-3$.

1. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 \pm 16}{10}$.

3. Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{5}$, $x_2 = 3$.

---

в) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=9$, $b=12$, $c=4$.

1. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.

2. Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$.

Также можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x+2)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(3x+2)^2 = 0$, откуда следует, что $3x+2=0$ и $x = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

---

г) $3y^2 - 2y - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$ с коэффициентами $a=3$, $b=-2$, $c=-1$.

1. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.

3. Вычислим каждый корень отдельно:

$y_1 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$y_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $y_1 = -\frac{1}{3}$, $y_2 = 1$.