Номер 10, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 10, страница 100.

Условие.

10. Найдите приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,01:

а) $x^2 - 4x + 1 = 0;$ б) $x^2 - 4x - 16 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $x^2 - 4x + 1 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-4$, $c=1$.

Сначала вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем точные значения корней:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Для этого используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,73205...$

$x_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1,73205... = 3,73205...$

Округляя до сотых, получаем $x_1 \approx 3,73$.

$x_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1,73205... = 0,26794...$

Округляя до сотых, получаем $x_2 \approx 0,27$.

Ответ: $x_1 \approx 3,73$; $x_2 \approx 0,27$.

б) $x^2 - 4x - 16 = 0$

Это также квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=-4$, $c=-16$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем точные значения корней:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{5}$.

Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Для этого используем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,23606...$

$x_1 = 2 + 2\sqrt{5} \approx 2 + 2 \cdot 2,23606... = 2 + 4,47213... = 6,47213...$

Округляя до сотых, получаем $x_1 \approx 6,47$.

$x_2 = 2 - 2\sqrt{5} \approx 2 - 2 \cdot 2,23606... = 2 - 4,47213... = -2,47213...$

Округляя до сотых, получаем $x_2 \approx -2,47$.

Ответ: $x_1 \approx 6,47$; $x_2 \approx -2,47$.