Номер 2, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 2, страница 104.

Условие.

2. Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета на 14 см и меньше гипотенузы на 2 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — гипотенуза. Допустим, катет $a$ — это тот, о котором говорится в условии.

Согласно условию, один катет ($a$) больше другого катета ($b$) на 14 см. Это можно записать в виде уравнения:
$a = b + 14$, откуда выразим второй катет: $b = a - 14$.

Также, этот же катет ($a$) меньше гипотенузы ($c$) на 2 см. Запишем это как:
$a = c - 2$, откуда выразим гипотенузу: $c = a + 2$.

Так как длина любой стороны треугольника должна быть положительной величиной, то должно выполняться условие $b > 0$, то есть $a - 14 > 0$, что означает $a > 14$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$, которые мы получили ранее:
$a^2 + (a - 14)^2 = (a + 2)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$a^2 + (a^2 - 2 \cdot a \cdot 14 + 14^2) = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2$
$a^2 + a^2 - 28a + 196 = a^2 + 4a + 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$2a^2 - 28a + 196 - a^2 - 4a - 4 = 0$
$a^2 - 32a + 192 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 32, а их произведение — 192.
Подбором находим корни: $a_1 = 8$ и $a_2 = 24$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ранее установленному условию $a > 14$.
Корень $a_1 = 8$ не подходит, так как $8 \ngtr 14$. При таком значении второй катет имел бы отрицательную длину.
Корень $a_2 = 24$ подходит, так как $24 > 14$.

Итак, мы нашли длину первого катета: $a = 24$ см.
Теперь найдем длины остальных сторон:
Второй катет: $b = a - 14 = 24 - 14 = 10$ см.
Гипотенуза: $c = a + 2 = 24 + 2 = 26$ см.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 24 + 10 + 26 = 60$ см.

Ответ: 60 см.