Номер 9, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 9, страница 108.

Условие.

9. Площадь кольца, заключённого между двумя концентрическими окружностями, составляет 44% площади меньшего круга. Найдите радиусы окружностей, если известно, что один из них на 3 см больше другого.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Обозначим радиус меньшей окружности как $r$, а радиус большей окружности как $R$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot \text{radius}^2$. Соответственно, площадь меньшего круга равна $S_{малого} = \pi r^2$, а площадь большего круга равна $S_{большого} = \pi R^2$.

Площадь кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, представляет собой разность площадей большего и меньшего кругов: $S_{кольца} = S_{большого} - S_{малого} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Согласно условию задачи, площадь кольца составляет 44% от площади меньшего круга. Запишем это в виде математического выражения (где 44% = 0.44): $S_{кольца} = 0.44 \cdot S_{малого}$

Подставим формулы площадей в это равенство: $\pi(R^2 - r^2) = 0.44 \cdot \pi r^2$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$): $R^2 - r^2 = 0.44 r^2$

Из условия также известно, что один из радиусов на 3 см больше другого. Так как $R$ — это радиус большей окружности, то: $R = r + 3$

Подставим это выражение для $R$ в наше уравнение: $(r + 3)^2 - r^2 = 0.44 r^2$

Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения: $(r^2 + 6r + 9) - r^2 = 0.44 r^2$ $6r + 9 = 0.44 r^2$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону: $0.44 r^2 - 6r - 9 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби: $44r^2 - 600r - 900 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты делятся на 4. Разделим уравнение на 4, чтобы упростить его: $11r^2 - 150r - 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-150)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-225) = 22500 + 9900 = 32400$

Найдем корни уравнения: $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{150 \pm \sqrt{32400}}{2 \cdot 11} = \frac{150 \pm 180}{22}$

Получаем два корня: $r_1 = \frac{150 + 180}{22} = \frac{330}{22} = 15$ $r_2 = \frac{150 - 180}{22} = -\frac{30}{22}$

Так как радиус окружности не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $r_1 = 15$. Итак, радиус меньшей окружности $r = 15$ см.

Теперь найдем радиус большей окружности $R$: $R = r + 3 = 15 + 3 = 18$ см.

Ответ: радиусы окружностей равны 15 см и 18 см.