Номер 4, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 4, страница 112.

Условие.

4. Один из корней уравнения $2x^2 - 7x + c = 0$ равен 7. Найдите другой корень и свободный член c.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 7x + c = 0$. Известно, что один из его корней, обозначим его $x_1$, равен 7. Необходимо найти второй корень $x_2$ и свободный член $c$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=2$, $b=-7$.

Найдите другой корень

Используем формулу для суммы корней, подставив в нее известные значения: $x_1 = 7$, $a=2$ и $b=-7$.

$7 + x_2 = -\frac{-7}{2}$

$7 + x_2 = \frac{7}{2}$

$7 + x_2 = 3.5$

Теперь найдем $x_2$:

$x_2 = 3.5 - 7$

$x_2 = -3.5$

Ответ: другой корень уравнения равен -3.5.

Найдите свободный член c

Теперь, зная оба корня ($x_1 = 7$ и $x_2 = -3.5$), мы можем найти свободный член $c$ с помощью формулы для произведения корней.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения:

$7 \cdot (-3.5) = \frac{c}{2}$

$-24.5 = \frac{c}{2}$

Отсюда выразим $c$:

$c = -24.5 \cdot 2$

$c = -49$

Также можно найти $c$, подставив известный корень $x=7$ в исходное уравнение, так как он должен обращать уравнение в верное равенство:

$2(7)^2 - 7(7) + c = 0$

$2 \cdot 49 - 49 + c = 0$

$98 - 49 + c = 0$

$49 + c = 0$

$c = -49$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: свободный член c равен -49.