Номер 10, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 10, страница 114.

Условие.

10. Не решая уравнения, определите знаки его корней, если они существуют. Заполните таблицу, считая, что $x_1 < x_2$.

$ax^2 + bx + c = 0$	$D = b^2 - 4ac$	Знак $x_1$	Знак $x_2$
$5x^2 - 2x - 8 = 0$	$4 + 160 > 0$	-	+
$x^2 - 7x + 9 = 0$
$2x^2 + 13x + 5 = 0$
$3x^2 - 4x + 7 = 0$
$0,2x^2 - 6x + 3 = 0$
$11x^2 + 40x + 1 = 0$
$-2x^2 + 73 = 0$	$73 \cdot 8 > 0$	-	+
$-2x^2 + x + 11 = 0$
$x^2 - \sqrt{3}x + 4 = 0$
$\sqrt{2}x^2 + 5x + 2\sqrt{2} = 0$

Решение.

Решение 2.

Для определения знаков корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, используется следующий алгоритм, основанный на теореме Виета и знаке дискриминанта.

1. Вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет вещественных корней.
   • Если $D \ge 0$, уравнение имеет один или два вещественных корня.
2. Если вещественные корни существуют, их знаки определяются с помощью теоремы Виета:
   • Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
   • Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$
3. Анализируются знаки произведения и суммы корней:
   • Если произведение $x_1 \cdot x_2 = c/a < 0$, то корни имеют разные знаки. Учитывая условие $x_1 < x_2$, меньший корень $x_1$ будет отрицательным (–), а больший $x_2$ — положительным (+).
   • Если произведение $x_1 \cdot x_2 = c/a > 0$, то корни имеют одинаковые знаки.
     • Если сумма $x_1 + x_2 = -b/a > 0$, оба корня положительные (+, +).
     • Если сумма $x_1 + x_2 = -b/a < 0$, оба корня отрицательные (–, –).

Применим этот алгоритм к каждому уравнению из таблицы.

$5x^2 - 2x - 8 = 0$

Это уравнение приведено в качестве примера. Коэффициенты: $a=5, b=-2, c=-8$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 4 + 160 = 164 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -8/5 < 0$. Корни имеют разные знаки.

Поскольку $x_1 < x_2$, корень $x_1$ отрицательный, а $x_2$ — положительный.

Ответ: $D=164 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: +.

$x^2 - 7x + 9 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=9$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 9/1 = 9 > 0$. Корни имеют одинаковые знаки.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-7)/1 = 7 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.

Ответ: $D=13 > 0$. Знак $x_1$: +. Знак $x_2$: +.

$2x^2 + 13x + 5 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=13, c=5$.

Дискриминант: $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 169 - 40 = 129 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 5/2 > 0$. Корни имеют одинаковые знаки.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -13/2 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.

Ответ: $D=129 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: –.

$3x^2 - 4x + 7 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=7$.

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 - 84 = -68 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: $D=-68 < 0$. Вещественных корней нет.

$0,2x^2 - 6x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=0,2, b=-6, c=3$.

Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 0,2 \cdot 3 = 36 - 2,4 = 33,6 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 3/0,2 = 15 > 0$. Корни имеют одинаковые знаки.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-6)/0,2 = 30 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.

Ответ: $D=33,6 > 0$. Знак $x_1$: +. Знак $x_2$: +.

$11x^2 + 40x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=11, b=40, c=1$.

Дискриминант: $D = 40^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 1600 - 44 = 1556 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/11 > 0$. Корни имеют одинаковые знаки.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -40/11 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.

Ответ: $D=1556 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: –.

$-2x^2 + 73 = 0$

Это уравнение приведено в качестве примера. Коэффициенты: $a=-2, b=0, c=73$.

Дискриминант: $D = 0^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 73 = 584 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 73/(-2) < 0$. Корни имеют разные знаки.

Поскольку $x_1 < x_2$, корень $x_1$ отрицательный, а $x_2$ — положительный.

Ответ: $D=584 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: +.

$-2x^2 + x + 11 = 0$

Коэффициенты: $a=-2, b=1, c=11$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 11 = 1 + 88 = 89 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 11/(-2) < 0$. Корни имеют разные знаки.

Поскольку $x_1 < x_2$, корень $x_1$ отрицательный, а $x_2$ — положительный.

Ответ: $D=89 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: +.

$x^2 - \sqrt{3}x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-\sqrt{3}, c=4$.

Дискриминант: $D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 3 - 16 = -13 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: $D=-13 < 0$. Вещественных корней нет.

$\sqrt{2}x^2 + 5x + 2\sqrt{2} = 0$

Коэффициенты: $a=\sqrt{2}, b=5, c=2\sqrt{2}$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 25 - 8 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$, значит, есть два различных вещественных корня.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = (2\sqrt{2})/\sqrt{2} = 2 > 0$. Корни имеют одинаковые знаки.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -5/\sqrt{2} < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.

Ответ: $D=9 > 0$. Знак $x_1$: –. Знак $x_2$: –.