Номер 12, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 12, страница 115.

Условие.

12. Частное корней уравнения $2x^2 + bx - 98 = 0$ равно -4. Найдите коэффициент $b$.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $2x^2 + bx - 98 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, частное корней равно -4. Пусть $\frac{x_1}{x_2} = -4$, откуда следует, что $x_1 = -4x_2$. (Заметим, что выбор $\frac{x_2}{x_1} = -4$ привел бы к тому же набору возможных значений для коэффициента $b$).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $2x^2 + bx - 98 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = b$, $c = -98$.

Применим теорему Виета:

1. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-98}{2} = -49$.

2. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения корней, используя соотношение из условия и произведение корней:

$\begin{cases} x_1 = -4x_2 \\ x_1 \cdot x_2 = -49 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$(-4x_2) \cdot x_2 = -49$

$-4x_2^2 = -49$

$x_2^2 = \frac{49}{4}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x_2$:

$x_2 = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$ или $x_2 = -\sqrt{\frac{49}{4}} = -\frac{7}{2}$.

Рассмотрим оба случая, чтобы найти все возможные значения коэффициента $b$.

Случай 1: $x_2 = \frac{7}{2}$

Тогда второй корень $x_1 = -4x_2 = -4 \cdot \frac{7}{2} = -14$.

Корни уравнения в этом случае: -14 и $\frac{7}{2}$. Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = -14 + \frac{7}{2} = -\frac{28}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{21}{2}$.

Теперь используем формулу для суммы корней, чтобы найти $b$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}$

$-\frac{21}{2} = -\frac{b}{2}$

$b = 21$.

Случай 2: $x_2 = -\frac{7}{2}$

Тогда второй корень $x_1 = -4x_2 = -4 \cdot (-\frac{7}{2}) = 14$.

Корни уравнения в этом случае: 14 и $-\frac{7}{2}$. Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = 14 - \frac{7}{2} = \frac{28}{2} - \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$.

Снова используем формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}$

$\frac{21}{2} = -\frac{b}{2}$

$b = -21$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для коэффициента $b$, каждое из которых удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -21; 21.