Номер 16, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 16, страница 117.

Условие.

16. Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, имеющее корни $x_1$ и $x_2$. Заполните таблицу.

a	b	c	$x_1$	$x_2$
1	12		-20
2		15		-1,5
3		-8		$-2\frac{2}{3}$
8	-18		0,5
1		-2	$1-\sqrt{3}$
1	-6			$3+2\sqrt{2}$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Рассмотрим каждую строку таблицы и найдем недостающие значения.

Строка 1

Дано: $a = 1$, $b = 12$, $x_1 = -20$. Требуется найти $c$ и $x_2$.

Используем формулу суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

$-20 + x_2 = -\frac{12}{1} \implies -20 + x_2 = -12 \implies x_2 = -12 + 20 \implies x_2 = 8$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$(-20) \cdot 8 = \frac{c}{1} \implies c = -160$.

Ответ: $c = -160, x_2 = 8$.

Строка 2

Дано: $a = 2$, $c = 15$, $x_2 = -1,5$. Требуется найти $b$ и $x_1$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot (-1,5) = \frac{15}{2} \implies x_1 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{15}{2} \implies x_1 = \frac{15}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) \implies x_1 = -5$.

Используем формулу суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

$-5 + (-1,5) = -\frac{b}{2} \implies -6,5 = -\frac{b}{2} \implies b = 6,5 \cdot 2 \implies b = 13$.

Ответ: $b = 13, x_1 = -5$.

Строка 3

Дано: $a = 3$, $c = -8$, $x_2 = -2\frac{2}{3}$. Требуется найти $b$ и $x_1$.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $x_2 = -2\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot (-\frac{8}{3}) = \frac{-8}{3} \implies x_1 = 1$.

Используем формулу суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

$1 + (-\frac{8}{3}) = -\frac{b}{3} \implies \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{b}{3} \implies -\frac{5}{3} = -\frac{b}{3} \implies b = 5$.

Ответ: $b = 5, x_1 = 1$.

Строка 4

Дано: $a = 8$, $b = -18$, $x_1 = 0,5$. Требуется найти $c$ и $x_2$.

Используем формулу суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

$0,5 + x_2 = -\frac