Номер 15, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 15, страница 116.

Условие.

15. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 9x - 15 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-9)^2 - 2 \cdot (-15) = 111.$

а) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$

б) $(x_1 - x_2)^2 =$

В) $x_1^3 + x_2^3 =$

Г) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} =$

Д) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} =$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для заданного квадратного уравнения $x^2 + 9x - 15 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -9$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = -15$

Будем использовать эти два соотношения для нахождения значений всех выражений, не вычисляя сами корни.

---

а) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-9}{-15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

---

б) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем квадрат разности и преобразуем выражение так, чтобы использовать сумму и произведение корней:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$

Чтобы выразить $x_1^2 + x_2^2$ через известные величины, добавим и вычтем $2x_1x_2$:

$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Подставим значения:

$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-9)^2 - 4 \cdot (-15) = 81 + 60 = 141$

Ответ: $141$

---

в) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через сумму и произведение: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$(-9)^3 - 3 \cdot (-15) \cdot (-9) = -729 - (45 \cdot 9) = -729 - 405 = -1134$

Ответ: $-1134$

---

г) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2}{x_1x_2} + \frac{x_2^2}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$

Найдем значение числителя $x_1^2 + x_2^2$, используя тождество $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-9)^2 - 2 \cdot (-15) = 81 + 30 = 111$ (это значение также дано в условии в качестве примера).

Теперь подставим значения в исходное выражение:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{111}{-15} = -\frac{111}{15}$

Сократим дробь на 3:

$-\frac{111 \div 3}{15 \div 3} = -\frac{37}{5}$

Ответ: $-\frac{37}{5}$

---

д) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1^2 x_2^2 = (x_1x_2)^2$:

$\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} = \frac{x_1 \cdot x_1^2}{x_1^2 x_2^2} + \frac{x_2 \cdot x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2}$

Из пункта в) мы знаем, что $x_1^3 + x_2^3 = -1134$.

Знаменатель равен $(x_1x_2)^2 = (-15)^2 = 225$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{-1134}{225}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя (1+1+3+4=9) и знаменателя (2+2+5=9) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9.

$\frac{-1134 \div 9}{225 \div 9} = \frac{-126}{25}$

Ответ: $-\frac{126}{25}$