Номер 8, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 8, страница 113.

Условие.

8. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни $x_1$ и $x_2$. Заполните таблицу.

$x_1$ $x_2$ $x_1 + x_2$ $x_1 \cdot x_2$ $ax^2 + bx + c = 0$

3 -4 -1 -12 $x^2 + x - 12 = 0$

-1 -8

-5 1

0,2 0,7

$ \frac{1}{3} $ $ -\frac{1}{2} $ $ -\frac{1}{6} $ $ -\frac{1}{6} $ $ x^2 + \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0; 6x^2 + x - 1 = 0 $

$ -\frac{2}{5} $ $ -\frac{1}{5} $

$ \sqrt{3}-2 $ $ \sqrt{3}+2 $ $ 2\sqrt{3} $ -1 $ x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0 $

$ 1+\sqrt{2} $ $ 1-\sqrt{2} $

4 0

$ \frac{1}{3} $ $ -\frac{1}{3} $

Решение.

Решение 2.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно этой теореме, если числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, то выполняются соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Отсюда следует, что зная корни $x_1$ и $x_2$, можно составить соответствующее им приведенное квадратное уравнение по формуле:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$

Заполним пропуски в таблице, выполнив необходимые вычисления для каждой пары корней.

---

Для корней $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = -1 + (-8) = -9$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot (-8) = 8$.

3. Подставляем найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$: $x^2 - (-9)x + 8 = 0$, что упрощается до $x^2 + 9x + 8 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем -9, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем 8, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 + 9x + 8 = 0$.

---

Для корней $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = -5 + 1 = -4$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot 1 = -5$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (-4)x + (-5) = 0$, что упрощается до $x^2 + 4x - 5 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем -4, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем -5, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 + 4x - 5 = 0$.

---

Для корней $x_1 = 0,2$ и $x_2 = 0,7$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = 0,2 + 0,7 = 0,9$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (0,9)x + 0,14 = 0$, то есть $x^2 - 0,9x + 0,14 = 0$. Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, можно умножить все члены на 100: $100x^2 - 90x + 14 = 0$, и сократить на 2: $50x^2 - 45x + 7 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем 0,9, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем 0,14, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 - 0,9x + 0,14 = 0$ или $50x^2 - 45x + 7 = 0$.

---

Для корней $x_1 = -\frac{2}{5}$ и $x_2 = -\frac{1}{5}$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2}{5} + (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{25}$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (-\frac{3}{5})x + \frac{2}{25} = 0$, что упрощается до $x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{2}{25} = 0$. Умножив на 25, получим уравнение с целыми коэффициентами: $25x^2 + 15x + 2 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем $-\frac{3}{5}$, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем $\frac{2}{25}$, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{2}{25} = 0$ или $25x^2 + 15x + 2 = 0$.

---

Для корней $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$.

2. Находим произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$: $x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (2)x + (-1) = 0$, то есть $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем 2, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем -1, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 - 2x - 1 = 0$.

---

Для корней $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = 4 + 0 = 4$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 0 = 0$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (4)x + 0 = 0$, то есть $x^2 - 4x = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем 4, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем 0, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 - 4x = 0$.

---

Для корней $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$

1. Находим сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{3}) = 0$.

2. Находим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9}$.

3. Составляем уравнение: $x^2 - (0)x + (-\frac{1}{9}) = 0$, то есть $x^2 - \frac{1}{9} = 0$. Умножив на 9, получим уравнение с целыми коэффициентами: $9x^2 - 1 = 0$.

Ответ: В ячейку $x_1 + x_2$ вписываем 0, в ячейку $x_1 \cdot x_2$ вписываем $-\frac{1}{9}$, а в ячейку $ax^2 + bx + c = 0$ вписываем $x^2 - \frac{1}{9} = 0$ или $9x^2 - 1 = 0$.