Номер 11, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 11, страница 115.

Условие.

11. При каких значениях m:

а) один из корней уравнения $x^2 + 5x + 9m^2 - 4 = 0$ равен нулю;

б) корни уравнения $x^2 + (5m - 15)x - 2 = 0$ являются противоположными числами;

в) корни уравнения $x^2 - 80x + 5m - 9 = 0$ являются взаимно обратными числами?

Решение.

Решение 2.

а) Условие, что один из корней уравнения $x^2 + 5x + 9m^2 - 4 = 0$ равен нулю, означает, что при подстановке $x=0$ в уравнение мы получим верное равенство. Это также эквивалентно тому, что свободный член уравнения равен нулю.

Свободный член в данном уравнении равен $9m^2 - 4$. Приравняем его к нулю:

$9m^2 - 4 = 0$

$9m^2 = 4$

$m^2 = \frac{4}{9}$

$m = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$m = \pm\frac{2}{3}$

При этих значениях $m$ необходимо, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9m^2 - 4) = 25 - 36m^2 + 16 = 41 - 36m^2$.

Подставим найденное значение $m^2 = \frac{4}{9}$:

$D = 41 - 36 \cdot \frac{4}{9} = 41 - 4 \cdot 4 = 41 - 16 = 25$.

Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при найденных значениях $m$.

Ответ: $m = \frac{2}{3}$ или $m = -\frac{2}{3}$.

б) Условие, что корни уравнения $x^2 + (5m - 15)x - 2 = 0$ являются противоположными числами ($x_1$ и $-x_1$), означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении коэффициент $p = 5m - 15$. Значит, сумма корней равна $-(5m - 15)$.

Приравняем сумму корней к нулю:

$-(5m - 15) = 0$

$5m - 15 = 0$

$5m = 15$

$m = 3$

Проверим, что при $m=3$ уравнение имеет действительные корни. Найдем дискриминант:

$D = (5m - 15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = (5m-15)^2 + 8$.

При $m=3$: $D = (5 \cdot 3 - 15)^2 + 8 = (15-15)^2 + 8 = 0^2 + 8 = 8$.

Так как $D = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $m = 3$.

в) Условие, что корни уравнения $x^2 - 80x + 5m - 9 = 0$ являются взаимно обратными числами ($x_1$ и $\frac{1}{x_1}$), означает, что их произведение равно единице: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем уравнении свободный член $q = 5m - 9$.

Приравняем произведение корней к единице:

$5m - 9 = 1$

$5m = 10$

$m = 2$

Проверим, что при $m=2$ уравнение имеет действительные корни. Найдем дискриминант:

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5m - 9) = 6400 - 4(5m - 9)$.

При $m=2$: $D = 6400 - 4(5 \cdot 2 - 9) = 6400 - 4(10 - 9) = 6400 - 4 = 6396$.

Так как $D = 6396 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $m = 2$.