Номер 2, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 2, страница 118.

Условие.

2. Какие из чисел -1, 2, $2-\sqrt{3}$, $1+\sqrt{3}$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2-4x+1$?

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 1$, нужно поочередно подставить каждое из них в выражение вместо переменной $x$ и проверить, равен ли результат нулю. Если результат равен нулю, то число является корнем.

Проверка числа -1

Подставим $x = -1$ в трехчлен:

$(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$

Поскольку результат не равен нулю ($6 \neq 0$), число -1 не является корнем трехчлена.

Проверка числа 2

Подставим $x = 2$ в трехчлен:

$2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Поскольку результат не равен нулю ($-3 \neq 0$), число 2 не является корнем трехчлена.

Проверка числа $2 - \sqrt{3}$

Подставим $x = 2 - \sqrt{3}$ в трехчлен. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 8 + 4\sqrt{3} + 1$

$= (4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1$

$= 7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0 + 0 = 0$

Поскольку результат равен нулю, число $2 - \sqrt{3}$ является корнем трехчлена.

Проверка числа $1 + \sqrt{3}$

Подставим $x = 1 + \sqrt{3}$ в трехчлен. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(1 + \sqrt{3})^2 - 4(1 + \sqrt{3}) + 1 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 4 - 4\sqrt{3} + 1$

$= (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 4 - 4\sqrt{3} + 1$

$= 4 + 2\sqrt{3} - 4 - 4\sqrt{3} + 1$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(4 - 4 + 1) + (2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 1 - 2\sqrt{3}$

Поскольку результат не равен нулю ($1 - 2\sqrt{3} \neq 0$), число $1 + \sqrt{3}$ не является корнем трехчлена.

Таким образом, из всех перечисленных чисел только $2 - \sqrt{3}$ является корнем квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 1$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.