Номер 5, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 5, страница 119.

Условие.

5. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $3x^2 + 5x - 2;$

б) $-2x^2 - 32 - 16x;$

в) $x^2 - 4x - 3;$

г) $0,2x^2 - 1,8;$

д) $6x^2 - x - 1;$

е) $x^2 + 0,1x - 0,02.$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $3x^2+5x-2$, нужно решить уравнение $3x^2+5x-2=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=3$, $b=5$, $c=-2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: $-2; \frac{1}{3}$.

б) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $-2x^2-32-16x$, приведем его к стандартному виду $ax^2+bx+c$ и решим уравнение $-2x^2-16x-32=0$.

Разделим все члены уравнения на $-2$ для упрощения:

$x^2+8x+16=0$.

Можно заметить, что левая часть является полным квадратом: $(x+4)^2=0$.

Отсюда $x+4=0$, следовательно, $x=-4$.

В качестве альтернативы, можно решить через дискриминант для уравнения $x^2+8x+16=0$, где $a=1$, $b=8$, $c=16$:

$D = b^2-4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-8}{2 \cdot 1} = -4$.

Ответ: $-4$.

в) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2-4x-3$, решим уравнение $x^2-4x-3=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=-3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

$x_1 = 2 + \sqrt{7}$, $x_2 = 2 - \sqrt{7}$.

Ответ: $2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

г) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $0,2x^2-1,8$, решим уравнение $0,2x^2-1,8=0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$0,2x^2 = 1,8$.

Разделим обе части на $0,2$:

$x^2 = \frac{1,8}{0,2} = \frac{18}{2} = 9$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{9}$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

д) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $6x^2-x-1$, решим уравнение $6x^2-x-1=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=6$, $b=-1$, $c=-1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}$.

е) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2+0,1x-0,02$, решим уравнение $x^2+0,1x-0,02=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=0,1$, $c=-0,02$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2-4ac$:

$D = (0,1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,02) = 0,01 + 0,08 = 0,09$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-0,1 + \sqrt{0,09}}{2 \cdot 1} = \frac{-0,1 + 0,3}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1$.

$x_2 = \frac{-0,1 - \sqrt{0,09}}{2 \cdot 1} = \frac{-0,1 - 0,3}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$.

Ответ: $-0,2; 0,1$.