Номер 12, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 12, страница 122.

Условие.

12. a) При каком значении $q$ квадратный трёхчлен $x^2 + 3x + q$ является полным квадратом двучлена?

б) При каком значении $c$ квадратный трёхчлен $5x^2 - 4x + c$ является полным квадратом двучлена?

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы квадратный трёхчлен являлся полным квадратом двучлена, его дискриминант должен быть равен нулю. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Через дискриминант

Общий вид квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для трёхчлена $x^2 + 3x + q$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 3$, $c = q$.

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 9 - 4q$.

$9 - 4q = 0$

$4q = 9$

$q = \frac{9}{4} = 2.25$.

Способ 2: По формуле квадрата двучлена

Полный квадрат двучлена имеет вид $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$. Сравним наш трёхчлен $x^2 + 3x + q$ с этой формулой.

Поскольку первый член $m^2 = x^2$, то $m=x$. Тогда удвоенное произведение $2mn$ должно быть равно $3x$. Подставляя $m=x$, получаем $2 \cdot x \cdot n = 3x$, откуда $2n = 3$, и $n = \frac{3}{2}$.

Свободный член $q$ должен быть равен квадрату второго члена двучлена, то есть $q = n^2$. $q = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. При $q = \frac{9}{4}$ исходный трёхчлен становится $(x + \frac{3}{2})^2$.

Ответ: $q = \frac{9}{4}$.

б)

Для того чтобы трёхчлен $5x^2 - 4x + c$ был полным квадратом двучлена, его дискриминант также должен быть равен нулю.

Способ 1: Через дискриминант

Коэффициенты трёхчлена $5x^2 - 4x + c$: $a = 5$, $b = -4$, $c = c$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot c = 16 - 20c$.

Приравняем дискриминант к нулю: $16 - 20c = 0$.

$20c = 16$.

$c = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Способ 2: Выделение полного квадрата

Вынесем коэффициент $5$ за скобки: $5x^2 - 4x + c = 5(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{c}{5})$.

Чтобы выражение в скобках было полным квадратом $(x-n)^2 = x^2 - 2xn + n^2$, сравним его с нашей формулой.

Удвоенное произведение $2xn$ должно быть равно $\frac{4}{5}x$, откуда $2n = \frac{4}{5}$, и $n = \frac{2}{5}$.

Свободный член в скобках $\frac{c}{5}$ должен быть равен $n^2$: $\frac{c}{5} = n^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.

Отсюда находим $c$: $c = 5 \cdot \frac{4}{25} = \frac{4}{5}$.

При $c = \frac{4}{5}$ исходный трёхчлен можно записать как $5(x-\frac{2}{5})^2$, что равно $(\sqrt{5}(x-\frac{2}{5}))^2$ и является полным квадратом двучлена.

Ответ: $c = \frac{4}{5}$.