Номер 16, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 16, страница 123.

Условие.

16. В прямоугольнике со сторонами 10 см и 17 см большую сторону уменьшили на $a$ см, а меньшую увеличили на 2 см. При каком значении $a$ площадь получившегося прямоугольника будет наибольшей? Какова эта площадь?

Решение.

Решение 2.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $l_1 = 17$ см и $l_2 = 10$ см. Согласно условию, большую сторону уменьшили на $a$ см, а меньшую увеличили на 2 см. Тогда новые стороны прямоугольника равны $(17 - a)$ см и $(10 + 2) = 12$ см. Площадь $S$ нового прямоугольника будет функцией от $a$: $S(a) = (17 - a) \cdot 12 = 204 - 12a$.

Эта функция является линейной и убывающей (коэффициент при $a$ отрицателен). Это означает, что чем меньше значение $a$, тем больше площадь. Поскольку $a$ обозначает уменьшение стороны, $a$ должно быть положительным ($a > 0$). В такой постановке задача не имеет решения, так как можно выбрать сколь угодно малое положительное значение $a$ и получить площадь, сколь угодно близкую к 204 см², но не достигающую её.

Наиболее вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и предполагалось, что меньшую сторону также изменяют на величину, зависящую от $a$. Стандартный вид такой задачи — когда обе стороны изменяются на $a$: большую сторону уменьшают на $a$, а меньшую увеличивают на $a$.

Примем это допущение. Тогда новые стороны прямоугольника равны $(17 - a)$ см и $(10 + a)$ см. Площадь нового прямоугольника $S(a)$ будет: $S(a) = (17 - a)(10 + a)$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратичную функцию: $S(a) = 170 + 17a - 10a - a^2 = -a^2 + 7a + 170$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-1$). Следовательно, функция имеет максимум в вершине параболы.

При каком значении a площадь получившегося прямоугольника будет наибольшей?

Координату вершины параболы $a_v$ для функции вида $y = kx^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_v = -\frac{b}{2k}$. В нашем случае $k = -1$ и $b = 7$.

$a = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = -\frac{7}{-2} = 3.5$

Это значение $a$ допустимо, так как стороны прямоугольника остаются положительными: $17 - 3.5 = 13.5 > 0$ $10 + 3.5 = 13.5 > 0$

Ответ: площадь будет наибольшей при $a = 3.5$.

Какова эта площадь?

Чтобы найти наибольшую площадь, подставим найденное значение $a = 3.5$ в функцию площади $S(a)$: $S(3.5) = -(3.5)^2 + 7 \cdot (3.5) + 170$ $S(3.5) = -12.25 + 24.5 + 170$ $S(3.5) = 12.25 + 170 = 182.25$

Также можно было просто перемножить новые стороны: $S = (17 - 3.5) \cdot (10 + 3.5) = 13.5 \cdot 13.5 = 182.25$

Ответ: наибольшая площадь равна $182.25$ см².