Номер 3, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 3, страница 126.

Условие.

3. Можно ли разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени, квадратный трёхчлен:

а) $y = 5x^2 - 3x + 1;$

б) $y = 0,3x^2 + 3x + 11;$

в) $y = 5x^2 + 0,5x - 0,1;$

г) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2};$

д) $y = 1,1x^2 - 0,5x + 0,2;$

е) $y = 9x^2 + 6x + 1?$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, являющиеся многочленами первой степени, необходимо вычислить его дискриминант $D$. Формула для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$ (дискриминант больше или равен нулю), то трёхчлен имеет действительные корни, и его можно разложить на множители первой степени.
• Если $D < 0$ (дискриминант отрицательный), то трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на множители первой степени с действительными коэффициентами.

а) $y = 5x^2 - 3x + 1$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны $a=5$, $b=-3$, $c=1$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на множители первой степени.

Ответ: нельзя.

б) $y = 0,3x^2 + 3x + 11$

Здесь коэффициенты: $a=0,3$, $b=3$, $c=11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 0,3 \cdot 11 = 9 - 1,2 \cdot 11 = 9 - 13,2 = -4,2$.

Так как $D < 0$, разложить данный трёхчлен на множители первой степени невозможно.

Ответ: нельзя.

в) $y = 5x^2 + 0,5x - 0,1$

Коэффициенты: $a=5$, $b=0,5$, $c=-0,1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (0,5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-0,1) = 0,25 - 20(-0,1) = 0,25 + 2 = 2,25$.

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), трёхчлен имеет два действительных корня, и его можно разложить на множители. Для полноты решения найдём корни и выполним разложение. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-0,5 \pm \sqrt{2,25}}{2 \cdot 5} = \frac{-0,5 \pm 1,5}{10}$.

$x_1 = \frac{-0,5 + 1,5}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$;

$x_2 = \frac{-0,5 - 1,5}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2$.

Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$, то есть $5(x - 0,1)(x + 0,2)$.

Ответ: можно.

г) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$

Коэффициенты: $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{3}{4}$, $c=\frac{1}{2}$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{16} - \frac{4}{6} = \frac{9}{16} - \frac{2}{3}$.

Приводя дроби к общему знаменателю 48, получаем:

$D = \frac{9 \cdot 3}{48} - \frac{2 \cdot 16}{48} = \frac{27 - 32}{48} = -\frac{5}{48}$.

Так как $D < 0$, разложить данный трёхчлен на множители первой степени невозможно.

Ответ: нельзя.

д) $y = 1,1x^2 - 0,5x + 0,2$

Коэффициенты: $a=1,1$, $b=-0,5$, $c=0,2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1,1 \cdot 0,2 = 0,25 - 4 \cdot 0,22 = 0,25 - 0,88 = -0,63$.

Так как $D < 0$, разложить данный трёхчлен на множители первой степени невозможно.

Ответ: нельзя.

е) $y = 9x^2 + 6x + 1$

Коэффициенты: $a=9$, $b=6$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.

Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), трёхчлен имеет один корень кратности 2 и его можно разложить на множители. Данный трёхчлен является полным квадратом суммы:

$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x+1)^2$.

Разложение представляет собой произведение двух одинаковых многочленов первой степени: $(3x+1)(3x+1)$.

Ответ: можно.