Номер 1, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 1, страница 4.

Условие.

1. Решите уравнение:

а) $ \frac{5 - 6x^2}{x + 2} = \frac{7x}{x + 2} $

б) $ \frac{2y^2}{y - 5} = \frac{y - 10}{5 - y} $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{5-6x^2}{x+2} = \frac{7x}{x+2}$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ:

$5 - 6x^2 = 7x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$6x^2 + 7x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=6$, $b=7$, $c=-5$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -2$).

$x_1 = -\frac{5}{3} \neq -2$

$x_2 = \frac{1}{2} \neq -2$

Оба корня входят в область допустимых значений, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -\frac{5}{3}$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $\frac{2y^2}{y-5} = \frac{y-10}{5-y}$

Это также рациональное уравнение. Найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $y-5 \neq 0$ и $5-y \neq 0$. Оба этих условия эквивалентны $y \neq 5$.

Заметим, что знаменатель правой части $5-y = -(y-5)$. Преобразуем уравнение, вынеся минус за знак дроби:

$\frac{2y^2}{y-5} = \frac{y-10}{-(y-5)}$

$\frac{2y^2}{y-5} = -\frac{y-10}{y-5}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$\frac{2y^2}{y-5} + \frac{y-10}{y-5} = 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{2y^2 + y - 10}{y-5} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель ($y \neq 5$) мы уже учли в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$2y^2 + y - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=2$, $b=1$, $c=-10$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($y \neq 5$).

$y_1 = -2.5 \neq 5$

$y_2 = 2 \neq 5$

Оба корня принадлежат области допустимых значений, значит, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $y_1 = -2.5$, $y_2 = 2$.