Номер 8, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 8, страница 9.

Условие.

8. Решите уравнение:

a) $\frac{x\sqrt{5}-\sqrt{2}}{x\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{5}+\sqrt{2}}{x\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{13x}{5x^2-2}$;

б) $\frac{1+z\sqrt{3}}{1-z\sqrt{3}} + \frac{1-z\sqrt{3}}{1+z\sqrt{3}} = \frac{7z}{1-3z^2}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное уравнение: $$ \frac{x\sqrt{5}-\sqrt{2}}{x\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{5}+\sqrt{2}}{x\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{13x}{5x^2-2} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.
$x\sqrt{5}+\sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{5} \neq -\sqrt{2} \implies x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$x\sqrt{5}-\sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{5} \neq \sqrt{2} \implies x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$5x^2-2 \neq 0 \implies 5x^2 \neq 2 \implies x^2 \neq \frac{2}{5} \implies x \neq \pm\sqrt{\frac{2}{5}}$
Так как $\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$, то ОДЗ: $x \neq \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(x\sqrt{5}+\sqrt{2})(x\sqrt{5}-\sqrt{2})$.
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, получаем: $$ (x\sqrt{5}+\sqrt{2})(x\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (x\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5x^2 - 2 $$ Этот знаменатель совпадает со знаменателем в правой части уравнения.

Теперь преобразуем числитель левой части: $$ (x\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 + (x\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 $$ Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, получаем: $$ (5x^2 - 2x\sqrt{10} + 2) + (5x^2 + 2x\sqrt{10} + 2) = 10x^2 + 4 $$

Таким образом, уравнение принимает вид: $$ \frac{10x^2+4}{5x^2-2} = \frac{13x}{5x^2-2} $$ Так как знаменатели равны и не обращаются в ноль в области ОДЗ, мы можем приравнять числители: $$ 10x^2 + 4 = 13x $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 10x^2 - 13x + 4 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=10, b=-13, c=4$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 4 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 3}{2 \cdot 10} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 3}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Оба корня, $x_1 = 0.8$ и $x_2 = 0.5$, принадлежат области допустимых значений, так как они не равны $\pm\frac{\sqrt{10}}{5} \approx \pm 0.63$.

Ответ: $x_1 = \frac{4}{5}, x_2 = \frac{1}{2}$.

б)

Исходное уравнение: $$ \frac{1+z\sqrt{3}}{1-z\sqrt{3}} + \frac{1-z\sqrt{3}}{1+z\sqrt{3}} = \frac{7z}{1-3z^2} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю.
$1-z\sqrt{3} \neq 0 \implies z \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$
$1+z\sqrt{3} \neq 0 \implies z \neq -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$1-3z^2 \neq 0 \implies 3z^2 \neq 1 \implies z^2 \neq \frac{1}{3} \implies z \neq \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Таким образом, ОДЗ: $z \neq \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1-z\sqrt{3})(1+z\sqrt{3})$.
По формуле разности квадратов: $$ (1-z\sqrt{3})(1+z\sqrt{3}) = 1^2 - (z\sqrt{3})^2 = 1 - 3z^2 $$

Преобразуем числитель левой части: $$ (1+z\sqrt{3})^2 + (1-z\sqrt{3})^2 $$ Используя формулы квадрата суммы и разности: $$ (1 + 2z\sqrt{3} + 3z^2) + (1 - 2z\sqrt{3} + 3z^2) = 2 + 6z^2 $$

Уравнение принимает вид: $$ \frac{2+6z^2}{1-3z^2} = \frac{7z}{1-3z^2} $$ Приравниваем числители, так как знаменатели одинаковы и не равны нулю в ОДЗ: $$ 2 + 6z^2 = 7z $$ Получаем квадратное уравнение: $$ 6z^2 - 7z + 2 = 0 $$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$a=6, b=-7, c=2$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1 = 1^2$.
Корни уравнения:
$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Оба корня, $z_1 = \frac{2}{3} \approx 0.667$ и $z_2 = 0.5$, принадлежат ОДЗ, так как они не равны $\pm\frac{\sqrt{3}}{3} \approx \pm 0.577$.

Ответ: $z_1 = \frac{2}{3}, z_2 = \frac{1}{2}$.