Номер 3, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 3, страница 6.

Условие.

3. Решите уравнение:

а) $ \frac{16}{3x - 16} = -x; $

б) $ \frac{4x^3 - 49x}{x + 3.5} = 0; $

в) $ \frac{x^2 + 6x}{x + 1} = -\frac{x}{4}; $

г) $ \frac{2 - 3x}{3x} = \frac{4 - x^2}{6x}. $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{16}{3x - 16} = -x$
Данное уравнение является рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$3x - 16 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 16 \Rightarrow x \neq \frac{16}{3}$.
Теперь решим уравнение, умножив обе части на знаменатель $(3x-16)$:
$16 = -x(3x - 16)$
$16 = -3x^2 + 16x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 - 16x + 16 = 0$
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64$
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Оба корня ($4$ и $\frac{4}{3}$) не равны $\frac{16}{3}$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \frac{4}{3}$.

б) $\frac{4x^3 - 49x}{x + 3,5} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Найдем ОДЗ: $x + 3,5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3,5$.
2. Приравняем числитель к нулю:
$4x^3 - 49x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x^2 - 49) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4x^2 - 49 = 0$
Решим второе уравнение:
$4x^2 = 49$
$x^2 = \frac{49}{4}$
$x = \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{2} \Rightarrow x = \pm 3,5$
Таким образом, мы получили три потенциальных корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 3,5$, $x_3 = -3,5$.
3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -3,5$).
$x_1 = 0$ (удовлетворяет)
$x_2 = 3,5$ (удовлетворяет)
$x_3 = -3,5$ (не удовлетворяет, является посторонним корнем).
Ответ: $0; 3,5$.

в) $\frac{x^2 + 6x}{x + 1} = -\frac{x}{4}$
Найдем ОДЗ: знаменатель $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):
$4(x^2 + 6x) = -x(x + 1)$
Раскроем скобки:
$4x^2 + 24x = -x^2 - x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 + 24x + x^2 + x = 0$
$5x^2 + 25x = 0$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$5x = 0 \Rightarrow x = 0$
или
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
Оба корня ($0$ и $-5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).
Ответ: $-5; 0$.

г) $\frac{2 - 3x}{3x} = \frac{4 - x^2}{6x}$
Найдем ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $3x \neq 0$ и $6x \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $6x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$\frac{2(2 - 3x)}{2 \cdot 3x} = \frac{4 - x^2}{6x}$
$\frac{4 - 6x}{6x} = \frac{4 - x^2}{6x}$
Поскольку знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$4 - 6x = 4 - x^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 6x + 4 - 4 = 0$
$x^2 - 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 6) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$).
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень.
$x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $6$.