Номер 6, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 6, страница 8.

Условие.

6. Найдите корни уравнения:

a) $\frac{5y - 2}{y + 1} - 2 = \frac{3y - 4}{y^2 - 1}$

б) $\frac{2y + 5}{y - 3} - \frac{y + 18}{y^2 - 9} = 3$

Решение.

Решение 2.

а) Решим уравнение $ \frac{5y - 2}{y + 1} - 2 = \frac{3y - 4}{y^2 - 1} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$

$y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (y-1)(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$ и $y \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq \pm 1$.

Теперь приведем все части уравнения к общему знаменателю $y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$.

$\frac{(5y - 2)(y - 1)}{y^2 - 1} - \frac{2(y^2 - 1)}{y^2 - 1} = \frac{3y - 4}{y^2 - 1}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(y^2 - 1)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $y \neq \pm 1$.

$(5y - 2)(y - 1) - 2(y^2 - 1) = 3y - 4$

Раскроем скобки:

$5y^2 - 5y - 2y + 2 - 2y^2 + 2 = 3y - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 - 7y + 4 = 3y - 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$3y^2 - 7y - 3y + 4 + 4 = 0$

$3y^2 - 10y + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($y \neq \pm 1$). Оба корня, $2$ и $\frac{4}{3}$, удовлетворяют этому условию.

Ответ: $2; \frac{4}{3}$.

б) Решим уравнение $ \frac{2y + 5}{y - 3} - \frac{y + 18}{y^2 - 9} = 3 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$y - 3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$

$y^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (y-3)(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$ и $y \neq -3$.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq \pm 3$.

Общий знаменатель для дробей в уравнении — $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель при условии, что $y \neq \pm 3$.

$(2y + 5)(y + 3) - (y + 18) = 3(y^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$2y^2 + 6y + 5y + 15 - y - 18 = 3y^2 - 27$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 10y - 3 = 3y^2 - 27$

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $y^2$ был положительным:

$0 = 3y^2 - 2y^2 - 10y - 27 + 3$

$y^2 - 10y - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($y \neq \pm 3$). Оба корня, $12$ и $-2$, входят в область допустимых значений.

Ответ: $-2; 12$.