Номер 9, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 9, страница 128.

Условие.

9. Докажите, что при любом значении $b$ квадратный трёхчлен $3x^2 + bx - 8$ имеет два корня, один из которых является положительным числом, а другой — отрицательным.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $3x^2 + bx - 8$ при любом значении $b$ имеет два корня, один из которых положителен, а другой отрицателен, необходимо доказать два утверждения:
1) Уравнение $3x^2 + bx - 8 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.
2) Эти корни имеют разные знаки.

Для доказательства первого утверждения найдём дискриминант ($D$) квадратного уравнения $3x^2 + bx - 8 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=3$, коэффициент при $x$ равен $b$, свободный член $c=-8$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Подставим значения коэффициентов: $D = b^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = b^2 + 96$.

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта. Выражение $b^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее возможное значение для $D$ достигается при $b=0$ и равно $0 + 96 = 96$. Таким образом, при любом значении $b$ дискриминант $D = b^2 + 96$ строго положителен ($D > 0$). Поскольку дискриминант всегда больше нуля, квадратное уравнение $3x^2 + bx - 8 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.

Для доказательства второго утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Для нашего уравнения $3x^2 + bx - 8 = 0$ произведение корней составляет: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{3}$.

Так как произведение корней является отрицательным числом ($-8/3 < 0$), это означает, что корни должны иметь разные знаки. То есть, если один корень положителен, то другой обязательно должен быть отрицательным.

Мы доказали, что при любом значении $b$ уравнение имеет два различных действительных корня, и что эти корни имеют противоположные знаки.

Ответ: Для данного квадратного трёхчлена $3x^2 + bx - 8$ дискриминант $D = b^2 + 96$ всегда положителен, что доказывает наличие двух различных корней при любом значении $b$. По теореме Виета, произведение этих корней равно $x_1 \cdot x_2 = -8/3$. Так как произведение отрицательно, корни имеют разные знаки, то есть один из них положителен, а другой отрицателен. Что и требовалось доказать.