Номер 2, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 2, страница 125.

Условие.

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$3a^2 + a - 2;$ $3a^2 + a - 2 = 0;$ $D = 1 + 24 = 25;$

$a = \frac{-1 \pm 5}{6};$ $a_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1;$ $a_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3};$

$3a^2 + a - 2 = 3(a + 1)\left(a - \frac{2}{3}\right) = (a + 1)(3a - 2).$

a) $5m^2 - 13m + 6;$

б) $7z^2 - 26z - 8.$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $5m^2 - 13m + 6$, сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $5m^2 - 13m + 6 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=5$, $b=-13$, $c=6$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$m_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$m_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь используем формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$5m^2 - 13m + 6 = 5(m - 2)\left(m - \frac{3}{5}\right)$

Чтобы избавиться от дроби, внесём множитель 5 во вторую скобку:

$5 \cdot \left(m - \frac{3}{5}\right) = 5m - 5 \cdot \frac{3}{5} = 5m - 3$

Таким образом, разложение имеет вид:

$(m - 2)(5m - 3)$

Ответ: $(m - 2)(5m - 3)$

б)

Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $7z^2 - 26z - 8$, найдём корни уравнения $7z^2 - 26z - 8 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=7$, $b=-26$, $c=-8$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 676 + 224 = 900$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{900}}{2 \cdot 7} = \frac{26 + 30}{14} = \frac{56}{14} = 4$

$z_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{900}}{2 \cdot 7} = \frac{26 - 30}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Используем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$7z^2 - 26z - 8 = 7(z - 4)\left(z - \left(-\frac{2}{7}\right)\right) = 7(z - 4)\left(z + \frac{2}{7}\right)$

Внесём множитель 7 во вторую скобку, чтобы избавиться от дроби:

$7 \cdot \left(z + \frac{2}{7}\right) = 7z + 7 \cdot \frac{2}{7} = 7z + 2$

Таким образом, разложение имеет вид:

$(z - 4)(7z + 2)$

Ответ: $(z - 4)(7z + 2)$