Номер 1, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 1, страница 124.

Условие.

1. Найдите корни квадратного трёхчлена и разложите его на множители:

а) $y^2 - 6y + 5$

б) $x^2 + 14x + 24$

в) $-y^2 + 14y - 33$

г) $-x^2 - 10x - 16$

д) $x^2 - 8x - 48$

е) $y^2 + 16y + 55$

ж) $x^2 - 24x + 144$

з) $-y^2 + 18y - 81$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ и разложить его на множители, нужно выполнить следующие шаги:

1. Приравнять трехчлен к нулю и решить получившееся квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни уравнения, $x_1$ и $x_2$, и будут корнями трехчлена. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
2. Разложить трехчлен на множители по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

а) $y^2 - 6y + 5$

1. Найдем корни уравнения $y^2 - 6y + 5 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1, b=-6, c=5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Корни трехчлена: 1 и 5.

2. Разложим на множители: $y^2 - 6y + 5 = 1 \cdot (y - 1)(y - 5) = (y - 1)(y - 5)$.
Ответ: Корни: $y_1 = 1, y_2 = 5$; разложение: $(y - 1)(y - 5)$.

б) $x^2 + 14x + 24$

1. Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 24 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=14, c=24$.
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.
$x_1 = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.
$x_2 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Корни трехчлена: -12 и -2.

2. Разложим на множители: $x^2 + 14x + 24 = (x - (-12))(x - (-2)) = (x + 12)(x + 2)$.
Ответ: Корни: $x_1 = -12, x_2 = -2$; разложение: $(x + 12)(x + 2)$.

в) $-y^2 + 14y - 33$

1. Найдем корни уравнения $-y^2 + 14y - 33 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства: $y^2 - 14y + 33 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-14, c=33$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64$.
$y_1 = \frac{14 - \sqrt{64}}{2} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$y_2 = \frac{14 + \sqrt{64}}{2} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
Корни трехчлена: 3 и 11.

2. Разложим на множители, учитывая исходный коэффициент $a=-1$:
$-y^2 + 14y - 33 = -1 \cdot (y - 3)(y - 11) = -(y - 3)(y - 11)$.
Ответ: Корни: $y_1 = 3, y_2 = 11$; разложение: $-(y - 3)(y - 11)$.

г) $-x^2 - 10x - 16$

1. Найдем корни уравнения $-x^2 - 10x - 16 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 10x + 16 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=10, c=16$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.
$x_1 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Корни трехчлена: -8 и -2.

2. Разложим на множители, учитывая исходный коэффициент $a=-1$:
$-x^2 - 10x - 16 = -1 \cdot (x - (-8))(x - (-2)) = -(x + 8)(x + 2)$.
Ответ: Корни: $x_1 = -8, x_2 = -2$; разложение: $-(x + 8)(x + 2)$.

д) $x^2 - 8x - 48$

1. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 48 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=-48$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$.
$x_1 = \frac{8 - \sqrt{256}}{2} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{8 + \sqrt{256}}{2} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Корни трехчлена: -4 и 12.

2. Разложим на множители: $x^2 - 8x - 48 = (x - (-4))(x - 12) = (x + 4)(x - 12)$.
Ответ: Корни: $x_1 = -4, x_2 = 12$; разложение: $(x + 4)(x - 12)$.

е) $y^2 + 16y + 55$

1. Найдем корни уравнения $y^2 + 16y + 55 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=16, c=55$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 55 = 256 - 220 = 36$.
$y_1 = \frac{-16 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-16 - 6}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
$y_2 = \frac{-16 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-16 + 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Корни трехчлена: -11 и -5.

2. Разложим на множители: $y^2 + 16y + 55 = (y - (-11))(y - (-5)) = (y + 11)(y + 5)$.
Ответ: Корни: $y_1 = -11, y_2 = -5$; разложение: $(y + 11)(y + 5)$.

ж) $x^2 - 24x + 144$

1. Данный трехчлен является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, $b=12$, а $2ab = 2 \cdot x \cdot 12 = 24x$.
Следовательно, $x^2 - 24x + 144 = (x - 12)^2$.
Найдем корень уравнения $(x - 12)^2 = 0$.
$x - 12 = 0 \implies x = 12$.
Трехчлен имеет один корень (или два совпадающих корня): 12.

2. Разложение на множители: $x^2 - 24x + 144 = (x - 12)^2 = (x - 12)(x - 12)$.
Ответ: Корень: $x = 12$; разложение: $(x - 12)^2$.

з) $-y^2 + 18y - 81$

1. Вынесем -1 за скобки: $-y^2 + 18y - 81 = -(y^2 - 18y + 81)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=y$, $b=9$, а $2ab = 2 \cdot y \cdot 9 = 18y$.
Следовательно, $y^2 - 18y + 81 = (y - 9)^2$.
Найдем корень уравнения $-(y - 9)^2 = 0$.
$y - 9 = 0 \implies y = 9$.
Трехчлен имеет один корень: 9.

2. Разложение на множители: $-y^2 + 18y - 81 = -(y - 9)^2 = -(y - 9)(y - 9)$.
Ответ: Корень: $y = 9$; разложение: $-(y - 9)^2$.