Номер 13, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 13, страница 122.

Условие.

13. Докажите, что при любом значении $x$:

а) квадратный трёхчлен $x^2 - 8x + 20$ принимает положительное значение;

...

...

б) квадратный трёхчлен $-2x^2 + 28x - 99$ принимает отрицательное значение.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $x^2 - 8x + 20$ принимает положительное значение при любом $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Этот метод позволяет представить выражение в виде, где его знак становится очевиден.

Исходное выражение: $x^2 - 8x + 20$.

Для выделения полного квадрата вида $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам нужно к выражению $x^2 - 8x$ добавить и вычесть такое число, чтобы получилась формула. В нашем случае $a=x$, а $2ab=8x$, откуда $b=4$. Соответственно, нужно добавить и вычесть $b^2 = 4^2 = 16$.

$x^2 - 8x + 20 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 20$

Теперь сгруппируем первые три члена в полный квадрат, а оставшиеся числа сложим:

$(x - 4)^2 + 4$

Проанализируем полученный результат. Выражение $(x - 4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение не может быть отрицательным, то есть $(x - 4)^2 \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 (достигается при $x=4$).

Таким образом, наименьшее возможное значение всего выражения равно $0 + 4 = 4$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 4, а $4 > 0$, то трёхчлен $x^2 - 8x + 20$ всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразованный трёхчлен $(x-4)^2 + 4$ всегда положителен, так как квадрат любого числа $(x-4)^2$ не отрицателен ($ \ge 0$), а прибавление к нему положительного числа 4 делает всё выражение строго положительным (большим или равным 4).

б) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $-2x^2 + 28x - 99$ принимает отрицательное значение при любом $x$, мы также воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Исходное выражение: $-2x^2 + 28x - 99$.

Сначала вынесем за скобки общий множитель $-2$ у членов, содержащих переменную $x$:

$-2(x^2 - 14x) - 99$

Теперь выделим полный квадрат внутри скобок для выражения $x^2 - 14x$. Здесь $a=x$, $2ab=14x$, значит $b=7$. Для полного квадрата нужно добавить и вычесть $b^2 = 7^2 = 49$ внутри скобок.

$-2(x^2 - 14x + 49 - 49) - 99$

Сгруппируем члены в полный квадрат и вынесем $-49$ из скобок, не забыв умножить его на вынесенный ранее множитель $-2$:

$-2((x - 7)^2 - 49) - 99 = -2(x - 7)^2 + (-2) \cdot (-49) - 99 = -2(x - 7)^2 + 98 - 99$

Упростим полученное выражение:

$-2(x - 7)^2 - 1$

Проанализируем результат. Выражение $(x - 7)^2$ всегда не отрицательно: $(x - 7)^2 \ge 0$.

При умножении на отрицательное число $-2$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получаем: $-2(x - 7)^2 \le 0$. Наибольшее значение этого слагаемого равно 0 (достигается при $x=7$).

Следовательно, наибольшее возможное значение всего выражения равно $0 - 1 = -1$.

Так как наибольшее значение выражения равно $-1$, а $-1 < 0$, то трёхчлен $-2x^2 + 28x - 99$ всегда принимает отрицательные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразованный трёхчлен $-2(x-7)^2 - 1$ всегда отрицателен, так как выражение $-2(x-7)^2$ не положительно ($\le 0$), а вычитание из него единицы делает всё выражение строго отрицательным (меньшим или равным -1).