Номер 10, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 10, страница 121.

Условие.

10. Требуется выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена. Закончите решение:

а) $x^2 - 14x + 11 = x^2 - 2 \cdot 7x + 7^2 - 7^2 + 11 = $

б) $-x^2 - 12x + 23 = -(x^2 + 12x - 23) = -(x^2 + 2 \cdot 6x + 6^2 - 6^2 - 23) = $

в) $-x^2 + 10x = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2 - 5^2) = $

г) $2x^2 - 16x + 5 = 2(x^2 - 8x + 2,5) = 2(x^2 - 2 \cdot 4x + 4^2 - 4^2 + 2,5) = $

Решение.

Решение 2.

а) Процесс выделения квадрата двучлена для выражения $x^2 - 14x + 11$ основан на формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, а $-14x$ является удвоенным произведением $-2ab$. Отсюда $b = 14/2 = 7$. Чтобы получить полный квадрат, нам нужно слагаемое $b^2 = 7^2 = 49$. Мы добавляем и вычитаем его в выражении.
$x^2 - 14x + 11 = x^2 - 2 \cdot 7x + 7^2 - 7^2 + 11 = (x^2 - 14x + 49) - 49 + 11 = (x - 7)^2 - 38$.
Ответ: $(x - 7)^2 - 38$.

б) Для выражения $-x^2 - 12x + 23$ сначала выносим знак минус за скобки. Затем в скобках выделяем полный квадрат по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 12x$, значит $b = 6$. Добавляем и вычитаем $b^2 = 6^2 = 36$.
$-x^2 - 12x + 23 = -(x^2 + 12x - 23) = -(x^2 + 2 \cdot 6x + 6^2 - 6^2 - 23) = -((x^2 + 12x + 36) - 36 - 23) = -((x + 6)^2 - 59) = -(x + 6)^2 + 59$.
Ответ: $-(x + 6)^2 + 59$.

в) В выражении $-x^2 + 10x$ также выносим минус за скобки. В скобках остаётся $x^2 - 10x$. Выделяем полный квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=x$, $-2ab = -10x$, значит $b = 5$. Добавляем и вычитаем $b^2 = 5^2 = 25$.
$-x^2 + 10x = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 2 \cdot 5x + 5^2 - 5^2) = -((x^2 - 10x + 25) - 25) = -((x - 5)^2 - 25) = -(x - 5)^2 + 25$.
Ответ: $-(x - 5)^2 + 25$.

г) Для выражения $2x^2 - 16x + 5$ сначала выносим за скобки коэффициент при $x^2$, то есть 2. Затем в скобках выделяем полный квадрат по аналогии с предыдущими примерами. Для $x^2 - 8x$ имеем $a=x$, $-2ab=-8x$, откуда $b=4$. Добавляем и вычитаем $b^2=4^2=16$.
$2x^2 - 16x + 5 = 2(x^2 - 8x + 2,5) = 2(x^2 - 2 \cdot 4x + 4^2 - 4^2 + 2,5) = 2((x^2 - 8x + 16) - 16 + 2,5) = 2((x - 4)^2 - 13,5) = 2(x - 4)^2 - 27$.
Ответ: $2(x - 4)^2 - 27$.