Номер 15, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 15, страница 123.

Условие.

15. Найдите корни квадратного трёхчлена $ax^2 - (3a^2 + 1)x + 3a$, где $a$ — некоторое число, отличное от нуля.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$ax^2 - (3a^2 + 1)x + 3a = 0$

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:

• $A = a$
• $B = -(3a^2 + 1)$
• $C = 3a$

По условию, параметр $a$ не равен нулю ($a \ne 0$).

Решим уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения через дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-(3a^2 + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot (3a) = (3a^2 + 1)^2 - 12a^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$D = ( (3a^2)^2 + 2 \cdot 3a^2 \cdot 1 + 1^2 ) - 12a^2 = (9a^4 + 6a^2 + 1) - 12a^2$

$D = 9a^4 - 6a^2 + 1$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$D = (3a^2 - 1)^2$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-(3a^2 + 1)) \pm \sqrt{(3a^2 - 1)^2}}{2a} = \frac{3a^2 + 1 \pm (3a^2 - 1)}{2a}$

Вычислим первый корень:

$x_1 = \frac{3a^2 + 1 + (3a^2 - 1)}{2a} = \frac{3a^2 + 1 + 3a^2 - 1}{2a} = \frac{6a^2}{2a} = 3a$

Вычислим второй корень:

$x_2 = \frac{3a^2 + 1 - (3a^2 - 1)}{2a} = \frac{3a^2 + 1 - 3a^2 + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$

Таким образом, корнями данного квадратного трёхчлена являются $3a$ и $\frac{1}{a}$.

Ответ: $3a; \frac{1}{a}$.