Номер 14, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 14, страница 123.

Условие.

14. При каких значениях переменной b:

а) квадратный трёхчлен $(b+3)x^2 - 2(b-2)x+b-1$ не имеет корней;

б) квадратный трёхчлен $(b-4)x^2 - 2(b+1)x+b$ имеет два корня?

Решение.

Решение 2.

а) Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ не имеет действительных корней при выполнении двух условий: старший коэффициент не равен нулю ($a \neq 0$) и дискриминант отрицателен ($D < 0$).

Рассмотрим трёхчлен $(b+3)x^2 - 2(b-2)x + b - 1$.

1. Трёхчлен является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:$b+3 \neq 0 \implies b \neq -3$.

2. Найдём дискриминант и потребуем, чтобы он был меньше нуля. Так как второй коэффициент чётный, удобно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = k^2 - ac$, где $k$ — это половина второго коэффициента.В нашем случае коэффициенты: $a = b+3$, $k = -(b-2)$, $c = b-1$.$D/4 = (-(b-2))^2 - (b+3)(b-1) = (b^2 - 4b + 4) - (b^2 - b + 3b - 3) = b^2 - 4b + 4 - (b^2 + 2b - 3) = b^2 - 4b + 4 - b^2 - 2b + 3 = -6b + 7$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:$-6b + 7 < 0$$7 < 6b$$b > \frac{7}{6}$

Полученное решение $b > \frac{7}{6}$ удовлетворяет условию $b \neq -3$.
Ответ: $b \in (\frac{7}{6}; +\infty)$.

б) Квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня, если его старший коэффициент не равен нулю ($a \neq 0$) и дискриминант положителен ($D > 0$).

Рассмотрим трёхчлен $(b-4)x^2 - 2(b+1)x + b$.

1. Условие, при котором трёхчлен является квадратным:$b-4 \neq 0 \implies b \neq 4$.

2. Найдём дискриминант ($D/4$) и потребуем, чтобы он был больше нуля.Коэффициенты: $a = b-4$, $k = -(b+1)$, $c = b$.$D/4 = (-(b+1))^2 - (b-4)b = (b^2 + 2b + 1) - (b^2 - 4b) = b^2 + 2b + 1 - b^2 + 4b = 6b + 1$.

Решим неравенство $D/4 > 0$:$6b + 1 > 0$$6b > -1$$b > -\frac{1}{6}$

Объединяя полученное решение с условием $b \neq 4$, получаем, что $b$ может принимать любые значения из промежутка $(-\frac{1}{6}; +\infty)$, за исключением точки $b=4$.
Ответ: $b \in (-\frac{1}{6}; 4) \cup (4; +\infty)$.