Номер 7, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 7, страница 128.

Условие.

7. Преобразуйте разность дробей

$ \frac{x^2 - x - 6}{0.5x^2 - 4x - 10} - \frac{x+2}{x-10} $, сократив предварительно первую дробь.

Решение.

Решение 2.

Для преобразования разности дробей, как указано в условии, сначала упростим (сократим) первую дробь.

Шаг 1. Упрощение первой дроби

Исходная первая дробь:

$$ \frac{x^2 - x - 6}{0,5x^2 - 4x - 10} $$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - x - 6$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители следующим образом:

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

2. Разложим на множители знаменатель $0,5x^2 - 4x - 10$. Сначала вынесем за скобки коэффициент 0,5:

$$ 0,5x^2 - 4x - 10 = 0,5(x^2 - 8x - 20) $$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $x^2 - 8x - 20$. Для этого решим уравнение $x^2 - 8x - 20 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -20$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, знаменатель раскладывается на множители следующим образом:

$$ 0,5x^2 - 4x - 10 = 0,5(x - 10)(x + 2) $$

3. Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в первую дробь и выполним сокращение:

$$ \frac{x^2 - x - 6}{0,5x^2 - 4x - 10} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{0,5(x - 10)(x + 2)} $$

Сокращаем на общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x \neq -2$:

$$ \frac{x - 3}{0,5(x - 10)} $$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 2:

$$ \frac{2(x - 3)}{2 \cdot 0,5(x - 10)} = \frac{2x - 6}{x - 10} $$

Шаг 2. Вычитание дробей

Теперь, когда первая дробь упрощена, вернемся к исходному выражению и заменим первую дробь на ее упрощенный вид:

$$ \frac{2x - 6}{x - 10} - \frac{x + 2}{x - 10} $$

Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель $(x - 10)$, мы можем вычесть их числители:

$$ \frac{(2x - 6) - (x + 2)}{x - 10} $$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$$ \frac{2x - 6 - x - 2}{x - 10} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(2x - x) + (-6 - 2)}{x - 10} = \frac{x - 8}{x - 10} $$

Ответ: $ \frac{x - 8}{x - 10} $