Номер 6, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 6, страница 127.

Условие.

6. При каких целых неотрицательных значениях $n (n \neq 4)$ квадрат-ный трёхчлен $y=(n-4)x^2 - 2nx + (n-7)$ нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени?

Решение.

Решение 2.

Квадратный трёхчлен `ax^2 + bx + c` можно разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени, в том и только в том случае, если соответствующее ему квадратное уравнение `ax^2 + bx + c = 0` имеет действительные корни. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта (`D \ge 0`).

В задаче требуется найти значения `n`, при которых трёхчлен `y = (n-4)x^2 - 2nx + (n-7)` нельзя разложить на множители первой степени. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение не должно иметь действительных корней, следовательно, его дискриминант должен быть строго отрицательным: `D < 0`.

Определим коэффициенты данного квадратного трёхчлена:

`a = n - 4`

`b = -2n`

`c = n - 7`

Вычислим дискриминант `D`. Так как второй коэффициент `b` является чётным, удобнее использовать формулу для `D/4`:

$\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = (-n)^2 - (n - 4)(n - 7)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\frac{D}{4} = n^2 - (n^2 - 7n - 4n + 28)$

$\frac{D}{4} = n^2 - (n^2 - 11n + 28)$

$\frac{D}{4} = n^2 - n^2 + 11n - 28$

$\frac{D}{4} = 11n - 28$

Теперь решим неравенство `D < 0`, которое равносильно неравенству `D/4 < 0`:

$11n - 28 < 0$

$11n < 28$

$n < \frac{28}{11}$

$n < 2\frac{6}{11}$

Согласно условию задачи, `n` должно быть целым неотрицательным числом (`n \ge 0`, `n \in \mathbb{Z}`) и `n \neq 4`.

Найдём все целые неотрицательные числа, удовлетворяющие неравенству $n < 2\frac{6}{11}$. Такими числами являются `0`, `1`, `2`.

Все эти значения (`0, 1, 2`) удовлетворяют дополнительному условию `n \neq 4`.

Таким образом, при `n = 0`, `n = 1` и `n = 2` данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Ответ: 0, 1, 2.