Номер 5, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 5, страница 7.

Условие.

5. Решите уравнение:

a) $ \frac{3z-1}{z-5} - \frac{z+8}{z+5} = -1; $

б) $ \frac{2y-1}{y} - \frac{6}{y+7} = \frac{3y-7}{y^2+7y}; $

В) $ \frac{14-5x}{x^2-2x} = \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x}; $

г) $ \frac{u-1}{u-2} - \frac{2u-1}{u+2} = 1. $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{3z-1}{z-5} - \frac{z+8}{z+5} = -1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $z-5 \neq 0$ и $z+5 \neq 0$, следовательно $z \neq 5$ и $z \neq -5$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(z-5)(z+5)$:
$\frac{(3z-1)(z+5) - (z+8)(z-5)}{(z-5)(z+5)} = -1$

Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(3z^2 + 15z - z - 5) - (z^2 - 5z + 8z - 40)}{z^2 - 25} = -1$
$\frac{3z^2 + 14z - 5 - (z^2 + 3z - 40)}{z^2 - 25} = -1$
$\frac{3z^2 + 14z - 5 - z^2 - 3z + 40}{z^2 - 25} = -1$
$\frac{2z^2 + 11z + 35}{z^2 - 25} = -1$

Умножим обе части уравнения на $z^2-25$ (с учетом ОДЗ):
$2z^2 + 11z + 35 = -(z^2 - 25)$
$2z^2 + 11z + 35 = -z^2 + 25$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$2z^2 + z^2 + 11z + 35 - 25 = 0$
$3z^2 + 11z + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$
$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($z \neq 5$, $z \neq -5$).

Ответ: $-2; -\frac{5}{3}$.

б) $\frac{2y-1}{y} - \frac{6}{y+7} = \frac{3y-7}{y^2+7y}$

Разложим знаменатель в правой части на множители: $y^2+7y = y(y+7)$.
ОДЗ: $y \neq 0$ и $y+7 \neq 0$, следовательно $y \neq 0$ и $y \neq -7$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $y(y+7)$:
$(2y-1)(y+7) - 6y = 3y-7$

Раскроем скобки и упростим:
$2y^2 + 14y - y - 7 - 6y = 3y-7$
$2y^2 + 7y - 7 = 3y-7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2y^2 + 7y - 3y - 7 + 7 = 0$
$2y^2 + 4y = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:
$2y(y+2) = 0$

Получаем два возможных корня:
$2y = 0 \implies y_1 = 0$
$y+2 = 0 \implies y_2 = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $y_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

в) $\frac{14-5x}{x^2-2x} = \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x}$

Разложим знаменатель в левой части на множители: $x^2-2x = x(x-2)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$:
$14-5x = 2x + 3(x-2)$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$14-5x = 2x + 3x - 6$
$14-5x = 5x - 6$
$14+6 = 5x+5x$
$20 = 10x$
$x = 2$

Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), следовательно, является посторонним.

Ответ: нет корней.

г) $\frac{u-1}{u-2} - \frac{2u-1}{u+2} = 1$

ОДЗ: $u-2 \neq 0$ и $u+2 \neq 0$, следовательно $u \neq 2$ и $u \neq -2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(u-2)(u+2)$ и приравняем к 1:
$\frac{(u-1)(u+2) - (2u-1)(u-2)}{(u-2)(u+2)} = 1$

Умножим обе части на $(u-2)(u+2) = u^2-4$ (с учетом ОДЗ):
$(u-1)(u+2) - (2u-1)(u-2) = u^2-4$

Раскроем скобки:
$(u^2+2u-u-2) - (2u^2-4u-u+2) = u^2-4$
$(u^2+u-2) - (2u^2-5u+2) = u^2-4$
$u^2+u-2-2u^2+5u-2 = u^2-4$
$-u^2+6u-4 = u^2-4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$-u^2 - u^2 + 6u - 4 + 4 = 0$
$-2u^2 + 6u = 0$

Вынесем общий множитель $-2u$ за скобки:
$-2u(u-3) = 0$

Получаем два возможных корня:
$-2u = 0 \implies u_1 = 0$
$u-3 = 0 \implies u_2 = 3$

Оба корня, $u_1=0$ и $u_2=3$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 3$.