Номер 12, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 12, страница 12.

Условие.

12. Решите уравнение:

а) $ \frac{6}{x^3 - 4x^2 - 4x + 16} - \frac{2x - 1}{x^2 - 4} = \frac{3}{x - 4} $

б) $ \frac{2y}{y + 3} - \frac{2y - 1}{y - 3} = \frac{3}{y^3 - 9y + y^2 - 9} $

в) $ \frac{x - 2}{1 - x + x^2} + \frac{3}{1 + x} = \frac{x^2 + 5}{1 + x^3} $

г) $ \frac{2}{2y - 1} + \frac{y - 3}{8y^3 - 1} = \frac{1 - y}{4y^2 + 2y + 1} $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{6}{x^3 - 4x^2 - 4x + 16} - \frac{2x - 1}{x^2 - 4} = \frac{3}{x - 4}$

Сначала разложим на множители знаменатели дробей. Знаменатель первой дроби: $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = x^2(x - 4) - 4(x - 4) = (x^2 - 4)(x - 4) = (x - 2)(x + 2)(x - 4)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x - 4 \neq 0$, $x - 2 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 4$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{6}{(x - 2)(x + 2)(x - 4)} - \frac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3}{x - 4}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)(x - 4)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$6 - (2x - 1)(x - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - (2x^2 - 8x - x + 4) = 3(x^2 - 4)$

$6 - (2x^2 - 9x + 4) = 3x^2 - 12$

$6 - 2x^2 + 9x - 4 = 3x^2 - 12$

$-2x^2 + 9x + 2 = 3x^2 - 12$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 9x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 81 + 280 = 361 = 19^2$

$x_{1} = \frac{9 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{28}{10} = 2.8$

$x_{2} = \frac{9 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

Оба корня (2.8 и -1) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 2.8$.

б) $\frac{2y}{y + 3} - \frac{2y - 1}{y - 3} = \frac{3}{y^3 - 9y + y^2 - 9}$

Разложим на множители знаменатель в правой части: $y^3 + y^2 - 9y - 9 = y^2(y + 1) - 9(y + 1) = (y^2 - 9)(y + 1) = (y - 3)(y + 3)(y + 1)$.

ОДЗ: $y + 3 \neq 0$, $y - 3 \neq 0$, $y + 1 \neq 0$. Следовательно, $y \neq -3$, $y \neq 3$, $y \neq -1$.

Общий знаменатель: $(y - 3)(y + 3)(y + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2y(y - 3)(y + 1) - (2y - 1)(y + 3)(y + 1) = 3$

Раскроем скобки:

$2y(y^2 + y - 3y - 3) - (2y - 1)(y^2 + y + 3y + 3) = 3$

$2y(y^2 - 2y - 3) - (2y - 1)(y^2 + 4y + 3) = 3$

$(2y^3 - 4y^2 - 6y) - (2y^3 + 8y^2 + 6y - y^2 - 4y - 3) = 3$

$2y^3 - 4y^2 - 6y - (2y^3 + 7y^2 + 2y - 3) = 3$

$2y^3 - 4y^2 - 6y - 2y^3 - 7y^2 - 2y + 3 = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-11y^2 - 8y + 3 = 3$

$-11y^2 - 8y = 0$

$-y(11y + 8) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$y_1 = 0$

$11y + 8 = 0 \Rightarrow 11y = -8 \Rightarrow y_2 = -\frac{8}{11}$

Оба корня ($0$ и $-\frac{8}{11}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{8}{11}; 0$.

в) $\frac{x - 2}{1 - x + x^2} + \frac{3}{1 + x} = \frac{x^2 + 5}{1 + x^3}$

Используем формулу суммы кубов для знаменателя в правой части: $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

ОДЗ: $1 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Выражение $1 - x + x^2$ (или $x^2 - x + 1$) всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + x)(1 - x + x^2)$:

$\frac{(x - 2)(1 + x) + 3(1 - x + x^2)}{(1 + x)(1 - x + x^2)} = \frac{x^2 + 5}{1 + x^3}$

Приравняем числители:

$(x - 2)(1 + x) + 3(1 - x + x^2) = x^2 + 5$

$x + x^2 - 2 - 2x + 3 - 3x + 3x^2 = x^2 + 5$

$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 5$

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня ($2$ и $-\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{2}{3}; 2$.

г) $\frac{2}{2y - 1} + \frac{y - 3}{8y^3 - 1} = \frac{1 - y}{4y^2 + 2y + 1}$

Используем формулу разности кубов: $8y^3 - 1 = (2y)^3 - 1^3 = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.

ОДЗ: $2y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$. Выражение $4y^2 + 2y + 1$ всегда положительно (дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = -12 < 0$).

Приведем все дроби к общему знаменателю $(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$:

$\frac{2(4y^2 + 2y + 1)}{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)} + \frac{y - 3}{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)} = \frac{(1 - y)(2y - 1)}{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)}$

Приравняем числители:

$2(4y^2 + 2y + 1) + (y - 3) = (1 - y)(2y - 1)$

$8y^2 + 4y + 2 + y - 3 = 2y - 1 - 2y^2 + y$

$8y^2 + 5y - 1 = -2y^2 + 3y - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$8y^2 + 2y^2 + 5y - 3y - 1 + 1 = 0$

$10y^2 + 2y = 0$

$2y(5y + 1) = 0$

Отсюда два корня:

$2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$

$5y + 1 = 0 \Rightarrow 5y = -1 \Rightarrow y_2 = -\frac{1}{5}$

Оба корня ($0$ и $-\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{5}; 0$.