Номер 3, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 3, страница 16.

Условие.

3. Числитель дроби на 3 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 2,9. Найдите исходную дробь.

Решение.

Решение 2.

Пусть знаменатель искомой дроби равен $x$. По условию, числитель на 3 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 3$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-3}{x}$.

Обратная ей дробь — это $\frac{x}{x-3}$.

Сумма этих двух дробей равна 2,9. Составим и решим уравнение, предварительно представив 2,9 в виде обыкновенной дроби: $2,9 = \frac{29}{10}$.

$\frac{x-3}{x} + \frac{x}{x-3} = \frac{29}{10}$

Область допустимых значений: $x \ne 0$ и $x \ne 3$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{(x-3)(x-3) + x \cdot x}{x(x-3)} = \frac{29}{10}$

$\frac{(x-3)^2 + x^2}{x^2-3x} = \frac{29}{10}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 6x + 9 + x^2}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

$\frac{2x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$10(2x^2 - 6x + 9) = 29(x^2 - 3x)$

$20x^2 - 60x + 90 = 29x^2 - 87x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$29x^2 - 20x^2 - 87x + 60x - 90 = 0$

$9x^2 - 27x - 90 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 9:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы получили два возможных значения для знаменателя. Найдем соответствующий числитель и дробь для каждого из них.

1. Если знаменатель $x = 5$, то числитель $x - 3 = 5 - 3 = 2$. Искомая дробь — $\frac{2}{5}$. Проверим условие: числитель 2 на 3 меньше знаменателя 5. Условие выполняется.

2. Если знаменатель $x = -2$, то числитель $x - 3 = -2 - 3 = -5$. Искомая дробь — $\frac{-5}{-2}$, что равно $\frac{5}{2}$. Проверим условие: числитель 5 не меньше знаменателя 2. Этот корень не удовлетворяет условию задачи.

Проверим найденную дробь $\frac{2}{5}$:

$\frac{2}{5} + \frac{5}{2} = 0,4 + 2,5 = 2,9$.

Решение верное.

Ответ: $\frac{2}{5}$.