Номер 9, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 9, страница 10.

Условие.

9. Решите уравнение:

a) $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}}} = 1\frac{10}{23}$

б) $1 - \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}}} = \frac{7}{10}$

Решение.

Решение 2.

a)

Дано уравнение:

$$ 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}}} = 1\frac{10}{23} $$

1. Для начала преобразуем смешанную дробь в правой части уравнения: $1\frac{10}{23} = 1 + \frac{10}{23}$.

2. Теперь уравнение выглядит так:

$$ 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}}} = 1 + \frac{10}{23} $$

3. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$$ \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}}} = \frac{10}{23} $$

4. Так как числители дробей равны (хотя это не обязательно), мы можем приравнять их знаменатели, "перевернув" обе дроби:

$$ 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}} = \frac{23}{10} $$

5. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$$ \frac{1}{3 + \frac{1}{7 - x^2}} = \frac{23}{10} - 2 = \frac{23 - 2 \cdot 10}{10} = \frac{23 - 20}{10} = \frac{3}{10} $$

6. Снова "перевернем" дроби:

$$ 3 + \frac{1}{7 - x^2} = \frac{10}{3} $$

7. Вычтем 3 из обеих частей:

$$ \frac{1}{7 - x^2} = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10 - 3 \cdot 3}{3} = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} $$

8. Еще раз "перевернем" дроби:

$$ 7 - x^2 = 3 $$

9. Решим полученное простое квадратное уравнение:

$$ x^2 = 7 - 3 $$

$$ x^2 = 4 $$

10. Извлечем квадратный корень:

$$ x = \pm\sqrt{4} $$

$$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$

Ответ: $x = \pm 2$.

б)

Дано уравнение:

$$ 1 - \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}}} = \frac{7}{10} $$

1. Выразим дробную часть. Для этого перенесем ее в правую часть уравнения, а $\frac{7}{10}$ — в левую:

$$ 1 - \frac{7}{10} = \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}}} $$

2. Выполним вычитание в левой части:

$$ \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} $$

3. Уравнение принимает вид:

$$ \frac{3}{10} = \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}}} $$

4. "Перевернем" обе дроби:

$$ \frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}} $$

5. Вычтем 3 из обеих частей:

$$ \frac{10}{3} - 3 = \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}} $$

$$ \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} $$

$$ \frac{1}{3} = \frac{1}{2 + \frac{1}{6 - x^2}} $$

6. Снова "перевернем" дроби:

$$ 3 = 2 + \frac{1}{6 - x^2} $$

7. Вычтем 2 из обеих частей:

$$ 3 - 2 = \frac{1}{6 - x^2} $$

$$ 1 = \frac{1}{6 - x^2} $$

8. Из этого следует, что знаменатель также равен 1:

$$ 6 - x^2 = 1 $$

9. Решим полученное уравнение:

$$ x^2 = 6 - 1 $$

$$ x^2 = 5 $$

10. Извлечем квадратный корень:

$$ x = \pm\sqrt{5} $$

$$ x_1 = \sqrt{5}, \quad x_2 = -\sqrt{5} $$

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.