Номер 7, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 8.

Условие.

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = 4x - 5$ и $y = \frac{5}{x-6}$;

б) $y = 3x + 8$ и $y = \frac{2}{x+1}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = 4x - 5$ и $y = \frac{5}{x-6}$, необходимо приравнять правые части этих уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ равны.

$4x - 5 = \frac{5}{x-6}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-6 \neq 0$, следовательно, $x \neq 6$.

Умножим обе части уравнения на выражение $(x-6)$, чтобы избавиться от дроби:

$(4x - 5)(x - 6) = 5$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$4x^2 - 24x - 5x + 30 = 5$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 29x + 25 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 841 - 400 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

$x_1 = \frac{-(-29) + 21}{2 \cdot 4} = \frac{29 + 21}{8} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$

$x_2 = \frac{-(-29) - 21}{2 \cdot 4} = \frac{29 - 21}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 6$).

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать $y = 4x - 5$.

Для $x_1 = \frac{25}{4}$:

$y_1 = 4 \cdot \frac{25}{4} - 5 = 25 - 5 = 20$

Первая точка пересечения: $(\frac{25}{4}; 20)$.

Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 4 \cdot 1 - 5 = 4 - 5 = -1$

Вторая точка пересечения: $(1; -1)$.

Ответ: $(\frac{25}{4}; 20)$ и $(1; -1)$.

б)

Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = 3x + 8$ и $y = \frac{2}{x+1}$ приравняем их правые части:

$3x + 8 = \frac{2}{x+1}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x+1)$:

$(3x + 8)(x + 1) = 2$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x + 8x + 8 = 2$

Приведем подобные и перенесем все в левую часть:

$3x^2 + 11x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-11 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-11 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = 3x + 8$.

Для $x_1 = -\frac{2}{3}$:

$y_1 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 8 = -2 + 8 = 6$

Первая точка пересечения: $(-\frac{2}{3}; 6)$.

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 3 \cdot (-3) + 8 = -9 + 8 = -1$

Вторая точка пересечения: $(-3; -1)$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}; 6)$ и $(-3; -1)$.