Номер 2, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 2, страница 16.

Условие.

2. Два велосипедиста выехали одновременно из посёлка в город, расстояние до которого 72 км. Скорость одного велосипедиста на 2 км/ч больше скорости другого, поэтому он приехал в город на 24 мин раньше. Определите скорость каждого велосипедиста. Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда

скорость второго — .................. км/ч. Время, затраченное на

дорогу первым велосипедистом, равно .................. ч,

а вторым — .................. ч. Второй велосипедист затратил

на 24 мин, т. е. на $\frac{2}{5}$ ч, больше времени на дорогу, чем первый.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Решение 2.

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость второго — $x-2$ км/ч. Время, затраченное на дорогу первым велосипедистом, равно $\frac{72}{x}$ ч, а вторым — $\frac{72}{x-2}$ ч. Второй велосипедист затратил на 24 мин, т. е. на $\frac{2}{5}$ ч, больше времени на дорогу, чем первый.

Составим и решим уравнение:
Основная идея заключается в том, что разница во времени, затраченном велосипедистами на путь, составляет 24 минуты. Поскольку второй велосипедист ехал медленнее, он затратил больше времени.
Разница во времени: $t_{второго} - t_{первого} = 24$ мин.
Переведем 24 минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$.
Подставим выражения для времени:
$\frac{72}{x-2} - \frac{72}{x} = \frac{2}{5}$
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-2)$:
$\frac{72x - 72(x-2)}{x(x-2)} = \frac{2}{5}$
$\frac{72x - 72x + 144}{x^2 - 2x} = \frac{2}{5}$
$\frac{144}{x^2 - 2x} = \frac{2}{5}$
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2(x^2 - 2x) = 144 \cdot 5$
$2(x^2 - 2x) = 720$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 2x = 360$
$x^2 - 2x - 360 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444$
$\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 38}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 38}{2} = \frac{-36}{2} = -18$
Корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной.
Следовательно, скорость первого (более быстрого) велосипедиста равна 20 км/ч.
Тогда скорость второго велосипедиста: $x - 2 = 20 - 2 = 18$ км/ч.
Ответ: скорость первого велосипедиста — 20 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.