Номер 13, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 13, страница 115.

Условие.

13. Определите свободный член уравнения $10x^2 - 3x + k = 0$, если известно, что корни уравнения $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условию $5x_1 + 2x_2 = 0$.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $10x^2 - 3x + k = 0$. Свободным членом этого уравнения является $k$. Корни уравнения, $x_1$ и $x_2$, связаны дополнительным условием $5x_1 + 2x_2 = 0$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Применительно к нашему уравнению $10x^2 - 3x + k = 0$, коэффициенты равны: $a = 10$, $b = -3$, $c = k$.

Тогда, по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{10} = \frac{3}{10}$

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{10}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{3}{10} \\ 5x_1 + 2x_2 = 0\end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_2$ через $x_1$:

$x_2 = \frac{3}{10} - x_1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$5x_1 + 2\left(\frac{3}{10} - x_1\right) = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_1$:

$5x_1 + \frac{6}{10} - 2x_1 = 0$

$3x_1 + \frac{3}{5} = 0$

$3x_1 = -\frac{3}{5}$

$x_1 = -\frac{1}{5}$

Теперь найдем $x_2$, подставив значение $x_1$ в выражение для $x_2$:

$x_2 = \frac{3}{10} - x_1 = \frac{3}{10} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Мы нашли корни уравнения: $x_1 = -1/5$ и $x_2 = 1/2$.

Теперь, чтобы найти свободный член $k$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{10}$

Подставим найденные значения корней:

$\left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{10}$

$-\frac{1}{10} = \frac{k}{10}$

Отсюда следует, что $k = -1$.

Ответ: -1