Номер 6, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 6, страница 112.

Условие.

6. Один из корней уравнения $25x^2 - 25x + q = 0$ в 4 раза больше другого. Найдите $q$.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $25x^2 - 25x + q = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один из корней в 4 раза больше другого. Пусть $x_2 = 4x_1$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В нашем уравнении коэффициенты имеют следующие значения: $a = 25$, $b = -25$, $c = q$.

Применим первую формулу Виета для суммы корней:$x_1 + x_2 = -(-25)/25 = 25/25 = 1$.

Теперь подставим в полученное равенство наше соотношение $x_2 = 4x_1$:$x_1 + 4x_1 = 1$.

Решим это простое уравнение относительно $x_1$:$5x_1 = 1$,$x_1 = 1/5$.

Зная значение первого корня, мы можем найти второй корень:$x_2 = 4x_1 = 4 \cdot (1/5) = 4/5$.

Теперь, чтобы найти неизвестный коэффициент $q$, воспользуемся второй формулой Виета для произведения корней:$x_1 \cdot x_2 = c/a = q/25$.

Подставим найденные значения корней $x_1 = 1/5$ и $x_2 = 4/5$ в это выражение:$(1/5) \cdot (4/5) = q/25$.

Выполним умножение в левой части:$4/25 = q/25$.

Из этого уравнения очевидно, что искомое значение $q$ равно 4.

Ответ: 4