Номер 11, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 11, страница 109.

Условие.

11. Известно, что число диагоналей выпуклого многоугольника p вычисляется по формуле $p=\frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число сторон многоугольника. Если утроить число сторон некоторого выпуклого многоугольника, то число его диагоналей увеличится на 126. Найдите число сторон этого многоугольника.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Пусть $n$ — исходное число сторон выпуклого многоугольника. Согласно условию, число его диагоналей $p_1$ вычисляется по формуле:

$p_1 = \frac{n(n-3)}{2}$

Если число сторон многоугольника утроить, то новый многоугольник будет иметь $3n$ сторон. Число диагоналей в новом многоугольнике, $p_2$, составит:

$p_2 = \frac{3n(3n-3)}{2}$

По условию задачи, число диагоналей нового многоугольника на 126 больше, чем у исходного. Это можно выразить уравнением:

$p_2 = p_1 + 126$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в это уравнение:

$\frac{3n(3n-3)}{2} = \frac{n(n-3)}{2} + 126$

Для решения уравнения умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3n(3n-3) = n(n-3) + 252$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9n^2 - 9n = n^2 - 3n + 252$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$9n^2 - n^2 - 9n + 3n - 252 = 0$

$8n^2 - 6n - 252 = 0$

Для удобства вычислений разделим уравнение на 2:

$4n^2 - 3n - 126 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-126) = 9 + 16 \cdot 126 = 9 + 2016 = 2025$

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{2025}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 45}{8} = \frac{48}{8} = 6$

$n_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{2025}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 45}{8} = \frac{-42}{8} = -5.25$

Поскольку $n$ — это число сторон многоугольника, оно должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Корень $n_2 = -5.25$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственно возможным решением является $n=6$.

Проверка:

Число диагоналей исходного многоугольника с 6 сторонами: $p_1 = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

Утроенное число сторон: $3 \cdot 6 = 18$.

Число диагоналей нового многоугольника с 18 сторонами: $p_2 = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \cdot 15}{2} = 9 \cdot 15 = 135$.

Увеличение числа диагоналей: $p_2 - p_1 = 135 - 9 = 126$.

Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: 6.