Номер 7, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 7, страница 107.

Условие.

7. Если двузначное число умножить на число, образованное перестановкой его цифр, то получится 1008. Найдите это число, если известно, что в его старшем разряде на 2 единицы больше, чем в младшем.

Решение. ..................

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть искомое двузначное число представлено как $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра в разряде десятков, а $b$ – цифра в разряде единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $10a + b$.

Число, образованное перестановкой его цифр, будет $\overline{ba}$, что в алгебраической форме равно $10b + a$.

Согласно первому условию задачи, произведение этих двух чисел равно 1008. Это дает нам первое уравнение:

$(10a + b)(10b + a) = 1008$

Из второго условия известно, что цифра в старшем разряде (десятки, $a$) на 2 единицы больше, чем в младшем (единицы, $b$). Это дает нам второе уравнение:

$a = b + 2$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными. Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое, чтобы получить уравнение с одной переменной $b$:

$(10(b + 2) + b)(10b + (b + 2)) = 1008$

Упростим выражения в скобках:

$(10b + 20 + b)(11b + 2) = 1008$

$(11b + 20)(11b + 2) = 1008$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение относительно $b$:

$121b^2 + 22b + 220b + 40 = 1008$

$121b^2 + 242b + 40 - 1008 = 0$

$121b^2 + 242b - 968 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на их наибольший общий делитель. Заметим, что $242 = 2 \cdot 121$ и $968 = 8 \cdot 121$. Таким образом, мы можем разделить все уравнение на 121:

$b^2 + 2b - 8 = 0$

Решим это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна -2, а их произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -4.

$b_1 = 2$, $b_2 = -4$

Поскольку $b$ представляет собой цифру, она должна быть целым неотрицательным числом от 0 до 9. Следовательно, корень $b = -4$ не подходит.

Единственное верное решение для $b$ – это $b = 2$.

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ во второе уравнение:

$a = b + 2 = 2 + 2 = 4$

Итак, мы нашли цифры: $a=4$ и $b=2$. Искомое двузначное число равно 42.

Проведем проверку:

1. Искомое число: 42. Число с переставленными цифрами: 24. Их произведение: $42 \cdot 24 = 1008$. Условие выполнено.
2. Цифра десятков (4) больше цифры единиц (2) на 2. $4 - 2 = 2$. Условие выполнено.

Оба условия задачи выполняются, значит, число найдено верно.

Ответ: 42.