Номер 3, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 3, страница 105.

Условие.

3. Из суммы квадратов двух последовательных целых чисел вычли квадрат следующего за ними числа. Получилось 165. Найдите эти числа.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть первое из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда второе последовательное число равно $n+1$, а следующее за ними число — $n+2$.

Согласно условию задачи, из суммы квадратов первых двух чисел вычли квадрат третьего и получили 165. Составим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 - (n+2)^2 = 165$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 4n + 4) = 165$

Упростим выражение, раскрыв вторые скобки и приведя подобные слагаемые:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 - n^2 - 4n - 4 = 165$

$(n^2 + n^2 - n^2) + (2n - 4n) + (1 - 4) = 165$

$n^2 - 2n - 3 = 165$

Перенесем 165 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 - 2n - 3 - 165 = 0$

$n^2 - 2n - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$n_1 = \frac{-(-2) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 26}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{-(-2) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 26}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Мы получили два возможных значения для первого числа, так как в условии говорится о целых числах (положительных и отрицательных), оба корня нам подходят. Рассмотрим каждый случай.

1. Если первое число $n = 14$.
Тогда второе последовательное число равно $14 + 1 = 15$.
Проверим: $14^2 + 15^2 - (14+2)^2 = 196 + 225 - 16^2 = 421 - 256 = 165$.
Условие выполняется. Первая пара чисел: 14 и 15.

2. Если первое число $n = -12$.
Тогда второе последовательное число равно $-12 + 1 = -11$.
Проверим: $(-12)^2 + (-11)^2 - (-12+2)^2 = 144 + 121 - (-10)^2 = 265 - 100 = 165$.
Условие также выполняется. Вторая пара чисел: -12 и -11.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 14 и 15, или -12 и -11.