Номер 5, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 5, страница 106.

Условие.

5. Разность кубов двух последовательных чётных чисел равна 296. Найдите эти числа.

Решение. ................

Решение.

Решение 2.

Пусть меньшее из двух последовательных чётных чисел равно $x$. Так как числа чётные и последовательные, следующее за ним чётное число будет $x + 2$.

Согласно условию задачи, разность кубов этих чисел равна 296. Это означает, что куб большего числа минус куб меньшего числа равен 296. Составим уравнение:

$(x + 2)^3 - x^3 = 296$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3) - x^3 = 296$

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 = 296$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$6x^2 + 12x + 8 = 296$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + 12x + 8 - 296 = 0$

$6x^2 + 12x - 288 = 0$

Все коэффициенты в уравнении делятся на 6. Разделим обе части уравнения на 6 для его упрощения:

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Мы нашли два возможных значения для меньшего из чисел. Теперь найдём соответствующие пары чисел:

1. Если меньшее число $x = 6$, то следующее последовательное чётное число равно $x + 2 = 6 + 2 = 8$. Получаем пару чисел 6 и 8.

2. Если меньшее число $x = -8$, то следующее последовательное чётное число равно $x + 2 = -8 + 2 = -6$. Получаем пару чисел -8 и -6.

Проверим оба решения:

Для пары (6, 8): $8^3 - 6^3 = 512 - 216 = 296$. Это верное решение.

Для пары (-8, -6): $(-6)^3 - (-8)^3 = -216 - (-512) = -216 + 512 = 296$. Это также верное решение.

Ответ: 6 и 8, или -8 и -6.