Номер 1, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 1, страница 104.

Условие.

1. Произведение двух последовательных нечётных чисел больше их суммы на 167. Найдите эти числа. Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть последовательные нечётные числа имеют вид $ (2n + 1) $ и $ (2n + 3) $, тогда их сумма равна ..................,

а произведение равно ................ . Составим уравнение:

Решение.

Решение 2.

Пусть последовательные нечётные числа имеют вид $(2n + 1)$ и $(2n + 3)$, где $n$ — целое число.Тогда их сумма равна $(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4$, а их произведение равно $(2n + 1)(2n + 3) = 4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n^2 + 8n + 3$.

Составим уравнение, исходя из условия, что произведение больше суммы на 167:

$(4n^2 + 8n + 3) = (4n + 4) + 167$

Теперь решим это уравнение:

$4n^2 + 8n + 3 = 4n + 171$

$4n^2 + 8n - 4n + 3 - 171 = 0$

$4n^2 + 4n - 168 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы его упростить:

$n^2 + n - 42 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение корней равно $-42$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $-7$.

$n_1 = 6$

$n_2 = -7$

Теперь найдём соответствующие пары чисел для каждого значения $n$.

1. При $n = 6$:

Первое число: $2 \cdot 6 + 1 = 13$

Второе число: $2 \cdot 6 + 3 = 15$

Проверка: Произведение $13 \cdot 15 = 195$. Сумма $13 + 15 = 28$. Разность $195 - 28 = 167$. Решение верное.

2. При $n = -7$:

Первое число: $2 \cdot (-7) + 1 = -14 + 1 = -13$

Второе число: $2 \cdot (-7) + 3 = -14 + 3 = -11$

Проверка: Произведение $(-13) \cdot (-11) = 143$. Сумма $(-13) + (-11) = -24$. Разность $143 - (-24) = 143 + 24 = 167$. Решение верное.

Ответ: Существуют две пары таких чисел: 13 и 15; или -11 и -13.